Нотация при определении матрицы линейного оператора

[areak]

Здравствуйте. Заранее большое спасибо за уделенное время!
При чтении Ильина Позняка "Линейная алгебра" столкнулся с проблемой в понимании нотации.
Авторы приступают к отысканию матрицы линейного оператора

$$\textbf{A}:V \rightarrow V$$

в базисе

$$\textbf{e}_{1},\textbf{e}_{2},...,\textbf{e}_{n}$$

n-мерного линейного пространства V.

Для этого они расскаладывают элемент

$$\textbf{x} \in V$$

линейного пространства V по указанному базису:

$$\textbf{x} = \sum_{k=1}^{n}x^{k}\textbf{e}_{k} = x^1\textbf{e}_{1}+x^2\textbf{e}_{2}+...+x^n\textbf{e}_{n}.$$

И вот уже на этом моменте начинаются странности с нотацией: зачем-то для матриц авторы используют нотацию Энштейна указывая при этом еще и знак суммирования. Но хорошо, это не так страшно. После, логическими заключениями они приходят к записи координаты образа:

$$\textbf{Ax} = \textbf{A}\sum_{k=1}^{n}x^{k}\textbf{e}_{k} = \sum_{k=1}^{n}x^{k}\textbf{A}\textbf{e}_{k},$$

$$\textbf{A}\textbf{e}_k = \sum_{j=1}^{n}a_{k}^{j}\textbf{e}_{j},$$

$$\textbf{Ax} = \sum_{k=1}^{n}x^{k}\sum_{j=1}^{n}a_{k}^{j}\textbf{e}_{j} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}(a_{k}^{j}x^{k})\textbf{e}_{j}.$$

Таким образом, мы получили, что

$$y^{j} = \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{j}x^{k}.$$

Следовательно, матрица линейного оператора имеет в k-х столбцах следующие элементы:

$$[a^{1}_{k},a^{2}_{k},...,a^{n}_{k}]^{T}.$$

Далее говорится, что образ элемента можно найти по следующей формуле (и это логично):

$$\textbf{y} = A\textbf{x},$$

где

$$ A = (a_{k}^{j})$$

- матрица линейного оператора.

Но дальше происходит что-то непонятное. Например, при вводе характеристического многочлена линейного оператора автор определяет его следующим образом:

В характеристическом многочлене введеная матрица, по каким-то неведомым причинам, становится транспонированной. Следовательно, возможно, мы изначально неправильно подумали, что верхний индекс элемента матрицы отвечает за индексацию по строке. Но если предположить, что j - индекс столбца, тогда введенное авторами уравнение для отыскания образа будет неверным. Я не понимаю, это я дурачок или нужно идти искать новую книгу?

[worm2]

Верхний индекс должен отвечать за строку, по идее.
Видимо, Ильин и Позняк опечатались.
Хотя формально можно сказать, что ошибки нет, ведь определитель не меняется от транспонирования.

[areak]

worm2 в сообщении #1558721 писал(а):

Верхний индекс должен отвечать за строку, по идее.
Видимо, Ильин и Позняк опечатались.
Хотя формально можно сказать, что ошибки нет, ведь определитель не меняется от транспонирования.

Большое спасибо за ответ!
Еще проблема есть в этом месте, где объясняется изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Авторы получают выражение вида $UA=\widetilde{A}U$, хотя по идее должно было получиться $AU=U\widetilde{A}$:

[worm2]

Не вчитывался, но осуждаю, похоже, тоже верное замечание.

[Sinoid]

(Оффтоп)

areak в сообщении #1558718 писал(а):

нужно идти искать новую книгу?

Не поможет: так или иначе это есть везде. Во всяком случае, в подавляющем большинстве наших книг.

[svv]

areak
Замеченные Вами странности у Ильина-Позняка можно объяснить, если допустить, что в книге
$\bullet$ в записи $a^i_k$ верхний индекс нумерует столбец, а нижний строку;
$\bullet$ и матрица линейного оператора, и матрица перехода транспонированы по отношению к стандарту.
Кроме того, набор координат векторов в конкретном базисе записывается как вектор-строка, а не вектор-столбец.

Естественно, всё это неприятным образом скажется на многих формулах, например:
1) Равенство $\mathbf y=\mathsf A\mathbf x$ в матричной записи даст $y=xA$ вместо $y=Ax$.
2) Если операторам $\mathsf A, \mathsf B$ соответствуют матрицы $A,B$, то оператору $\mathsf A\mathsf B$ будет соответствовать матрица $BA$ вместо $AB$.

areak в сообщении #1558718 писал(а):

нужно идти искать новую книгу?

Да, особенно если Ваша специальность — физика. Правда, как я понял, Вы уже знакомы и с правильной системой обозначений, и у Вас есть иммунитет.

[areak]

Большое спасибо за ответ!

svv в сообщении #1558767 писал(а):

areak
1) Равенство $\mathbf y=\mathsf A\mathbf x$ в матричной записи даст $y=xA$ вместо $y=Ax$.

Да, я с Вами полностью согласен. Но в книге говорится, что образ определяется через $\textbf{x}$ следующим соотношением: $\textbf{y} = A\textbf{x}$, поэтому $j$ должен отвечать именно за столбец, иначе результат произведения матриц не будет совпадать со значениями координат образа.

В результате я принял решение сменить книгу и начать чтение Кострикина в 3-х томах, ибо неизвестно какие еще сюрприцы встретятся в Ильине Позняке.

[svv]

Вы наверняка обратили внимание, что в книге оператор обозначается заглавной полужирной латинской буквой ($\mathbf A$), а матрица — курсивной ($A$). Равенство $\mathbf y=\mathbf A\mathbf x$ в книге встречается. Есть ещё запись, которую я бы назвал тензорной: $y^j=\sum\limits_{k=1}^n a^j_k x^k$.

А вот матричной записи ($y=Ax$ или $y=xA$) я не увидел нигде. В варианте $y=Ax$ (стандартном) $x$ и $y$ — векторы-столбцы (т.е. координаты векторов $\mathbf x$ и $\mathbf y$ в выбранном базисе, записанные в столбец). В варианте $y=xA$ это векторы-строки, а матрица $A$ транспонирована по отношению к стандартному варианту.

Кстати, вот фраза из книги, которая подтверждает, что верхний индекс в $a^j_k$ нумерует столбцы, а нижний строки:

Цитата:

Так как векторы $\mathbf e_1, \mathbf e_2, ..., \mathbf e_n$ линейно независимы, то, согласно (5.15), максимальное число линейно независимых векторов $\mathbf g_k$ совпадает с максимальным числом линейно независимых строк $(a^1_k,a^2_k,...,a^n_k)$ матрицы $A$, т.е. с рангом $A$.

-- Ср июн 29, 2022 19:16:48 --

areak в сообщении #1558817 писал(а):

поэтому $j$ должен отвечать именно за столбец

Правильно. И поэтому $y^j=\sum\limits_{k=1}^n a^j_k x^k$ — это (в интерпретации Ильина-Позняка)


При стандартной интерпретации

[areak]

svv в сообщении #1558822 писал(а):

Вы наверняка обратили внимание, что в книге оператор
Кстати, вот фраза из книги, которая подтверждает, что верхний индекс в $a^j_k$ нумерует столбцы, а нижний строки:

Цитата:

Так как векторы $\mathbf e_1, \mathbf e_2, ..., \mathbf e_n$ линейно независимы, то, согласно (5.15), максимальное число линейно независимых векторов $\mathbf g_k$ совпадает с максимальным числом линейно независимых строк $(a^1_k,a^2_k,...,a^n_k)$ матрицы $A$, т.е. с рангом $A$.

Если обратиться к старому изданию книги 1999 года, то в соотношении $\textbf{y} = A\textbf{x}$ стоит именно матрица $A$, а не линейный оператор $\textbf{A}$. Это также можно заметить по комментарию автора к этой записи, где он явно указывает, что это именно матрица линейного оператора, а не сам оператор. При этом, автор акцентирует внимание на том, что это матричная форма записи:

Из данного рисунка видно, что $A$, стоящая в уравнении для образа $\textbf{y}$ является именно матрицей $\Rightarrow$ если обратиться к выражению $y^j = \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{j}x^{k}$, то можно сделать вывод: $\textbf{y} = A\textbf{x}$ возможно лишь в случае, когда $j$ - строка матрицы, иначе координаты образа не будут совпадать с выражением $\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{j}x^{k}$. Поэтому довольно странно, что далее, в доказательстве, $j$ указывается как столбец.

-- 29.06.2022, 20:34 --

areak в сообщении #1558817 писал(а):

поэтому $j$ должен отвечать именно за столбец

Я тут опечатался, имел в виду строку.

[svv]

Посмотрите на мою первую картинку. Может, именно так Ильин-Позняк интерпретируют $y^j = \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{j}x^{k}$?

[areak]

svv в сообщении #1558822 писал(а):

И поэтому $y^j=\sum\limits_{k=1}^n a^j_k x^k$ — это (в интерпретации Ильина-Позняка)


При стандартной интерпретации

Ну, на самом деле, только в такой интерпретации предложенное Ильином-Позняком выражение для образа справедливо. Но, крайне странно, что при этом они пишут $\textbf{y}=A\textbf{x}$.

[svv]

Действительно, предлагаемая интерпретация $y^j=\sum\limits_{k=1}^n a^j_k x^k$ как

не согласуется с тем, что в старом издании $\mathbf y=\mathbf A\mathbf x$ называется матричной записью. Но она позволила бы объяснить несколько вещей:

1) Фразу

Цитата:

Так как векторы $\mathbf e_1, \mathbf e_2, ..., \mathbf e_n$ линейно независимы, то, согласно (5.15), максимальное число линейно независимых векторов $\mathbf g_k$ совпадает с максимальным числом линейно независимых строк $(a^1_k,a^2_k,...,a^n_k)$ матрицы $A$, т.е. с рангом $A$.

То есть когда верхний индекс пробегает значения от $1$ до $n$, а нижний фиксирован, у авторов получается строка.

2)


3) Запись $\sum\limits_{i=1}^n u^i_k a^j_i = \sum\limits_{i=1}^n \tilde a^i_k u^j_i$ в матричном виде $UA=\tilde AU$.

Собственно, что я хочу сказать: я думаю, что авторы, хоть и сильно отступают от стандарта, всё-таки следуют какой-то логике.

[areak]

Полностью с Вами согласен. Огромное Вам спасибо за уделенное время. Все же перейду к чтению другой книги, так как не хочется отступать от устоявшихся обозначений и форм записи, ибо это может усложнить жизнь при дальшейшем чтении более серьезной литературы.

Еще раз большое спасибо за то, что не остались равнодушными к моему вопросу!

[svv]

Я тоже с Вами согласен. Вполне возможно, книга Ильина и Позняка обладает какими-то достоинствами. Но изучать арифметику по книге, в которой числитель пишется внизу, а знаменатель вверху — не очень хорошая идея.