Здравствуйте. Заранее большое спасибо за уделенное время!
При чтении Ильина Позняка "Линейная алгебра" столкнулся с проблемой в понимании нотации.
Авторы приступают к отысканию матрицы линейного оператора
![$$\textbf{A}:V \rightarrow V$$ $$\textbf{A}:V \rightarrow V$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/9/e09bbd034e316dcdf0f633d1be36074682.png)
в базисе
![$$\textbf{e}_{1},\textbf{e}_{2},...,\textbf{e}_{n}$$ $$\textbf{e}_{1},\textbf{e}_{2},...,\textbf{e}_{n}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/f/02f0dcaa17080516a810c78d74db0b7182.png)
n-мерного линейного пространства V.
Для этого они расскаладывают элемент
![$$\textbf{x} \in V$$ $$\textbf{x} \in V$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/c/71c834a0c95d792182e41a458742e0fc82.png)
линейного пространства V по указанному базису:
![$$\textbf{x} = \sum_{k=1}^{n}x^{k}\textbf{e}_{k} = x^1\textbf{e}_{1}+x^2\textbf{e}_{2}+...+x^n\textbf{e}_{n}.$$ $$\textbf{x} = \sum_{k=1}^{n}x^{k}\textbf{e}_{k} = x^1\textbf{e}_{1}+x^2\textbf{e}_{2}+...+x^n\textbf{e}_{n}.$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/6/546c6a071318254efed5d65aa4ba224f82.png)
И вот уже на этом моменте начинаются странности с нотацией: зачем-то для матриц авторы используют нотацию Энштейна указывая при этом еще и знак суммирования. Но хорошо, это не так страшно. После, логическими заключениями они приходят к записи координаты образа:
![$$\textbf{Ax} = \textbf{A}\sum_{k=1}^{n}x^{k}\textbf{e}_{k} = \sum_{k=1}^{n}x^{k}\textbf{A}\textbf{e}_{k},$$ $$\textbf{Ax} = \textbf{A}\sum_{k=1}^{n}x^{k}\textbf{e}_{k} = \sum_{k=1}^{n}x^{k}\textbf{A}\textbf{e}_{k},$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/2/d1256deb51f72f8eca1ce73369b2b88c82.png)
![$$\textbf{A}\textbf{e}_k = \sum_{j=1}^{n}a_{k}^{j}\textbf{e}_{j},$$ $$\textbf{A}\textbf{e}_k = \sum_{j=1}^{n}a_{k}^{j}\textbf{e}_{j},$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/1/57169c3cb9644b0f486fd65bb4bb15c182.png)
![$$\textbf{Ax} = \sum_{k=1}^{n}x^{k}\sum_{j=1}^{n}a_{k}^{j}\textbf{e}_{j} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}(a_{k}^{j}x^{k})\textbf{e}_{j}.$$ $$\textbf{Ax} = \sum_{k=1}^{n}x^{k}\sum_{j=1}^{n}a_{k}^{j}\textbf{e}_{j} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}(a_{k}^{j}x^{k})\textbf{e}_{j}.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/1/ac12fb3b838bb5693e9a55d0c48d2e3d82.png)
Таким образом, мы получили, что
![$$y^{j} = \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{j}x^{k}.$$ $$y^{j} = \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{j}x^{k}.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/4/2b478a0443049751632849ff6c56eb8c82.png)
Следовательно, матрица линейного оператора имеет в k-х столбцах следующие элементы:
![$$[a^{1}_{k},a^{2}_{k},...,a^{n}_{k}]^{T}.$$ $$[a^{1}_{k},a^{2}_{k},...,a^{n}_{k}]^{T}.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/2/8a2e89b2cb0db4666596d34a5042264082.png)
Далее говорится, что образ элемента можно найти по следующей формуле (и это логично):
![$$\textbf{y} = A\textbf{x},$$ $$\textbf{y} = A\textbf{x},$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/a/8aaca66cb5adb508dede45890c7702c382.png)
где
![$$ A = (a_{k}^{j})$$ $$ A = (a_{k}^{j})$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/7/b477b351f8646b926e513d4ddbb6d95a82.png)
- матрица линейного оператора.
Но дальше происходит что-то непонятное. Например, при вводе характеристического многочлена линейного оператора автор определяет его следующим образом:
В характеристическом многочлене введеная матрица, по каким-то неведомым причинам, становится транспонированной. Следовательно, возможно, мы изначально неправильно подумали, что верхний индекс элемента матрицы отвечает за индексацию по строке. Но если предположить, что j - индекс столбца, тогда введенное авторами уравнение для отыскания образа будет неверным. Я не понимаю, это я дурачок или нужно идти искать новую книгу?