Доказательства от противного

[ZaZaZone]

Господа! Никогда не возникало никакой сложности в осмыслении конструктивных доказательств, но, с другой стороны, всегда имелось некоторое странное послевкусие после доказательств от противного. Взять, например, доказательство единственности единицы во всякой группе:

Пусть $(G, \circ)$ - группа.
Предположим, что $e_{1} \ne e_{2}$ - две различные единицы
т.е. $\forall g \in G g \circ e_{1} = e_{1} \circ g = g$ и $\forall g \in G g \circ e_{2} = e_{2} \circ g = g$
тогда возьмём $e_{1} \circ e_{1}$ и известным образом получим, что $e_{1} = e_{1}$ а это противоречит исходному предположению. Из чего принято делать вывод, что верно обратное.

Вопрос: а есть ли какая-нибудь уверенность, что не существует какой - то хитрой последовательности выводов, которая приведёт к противоречию и обратное утверждение ? И если такая последовательность существует, то какие из этого можно сделать выводы ? Наверное, я просто не особенно хорошо понимаю, как работает формальная логика, поэтому заранее прошу простить мне мой наивный вопрос. С уважением!

[Someone]

ZaZaZone в сообщении #1558733 писал(а):

Предположим, что $e_{1} \ne e_{2}$ - две различные единицы
т.е. $\forall g \in G g \circ e_{1} = e_{1} \circ g = g$ и $\forall g \in G g \circ e_{2} = e_{2} \circ g = g$
тогда возьмём $e_{1} \circ e_{1}$ и известным образом получим, что $e_{1} = e_{1}$ а это противоречит исходному предположению. Из чего принято делать вывод, что верно обратное.

У Вас тут явные опечатки. Рассматривается произведение $e_1\circ e_2$, которое преобразуется двумя способами, что даёт равенство $e_1=e_2$.
Не вижу здесь доказательства "от противного", потому что в доказательстве равенства $e_1=e_2$ предположение $e_1\ne e_2$ никаким способом не используется. Это означает, что такое предположение не нужно. Просто доказываем, что если $e_1$ и $e_2$ — единицы, то $e_1=e_2$.

[ZaZaZone]

Прошу прощения, там действительно опечатка. Имелось ввиду, конечно, что взяв $e_{1} \circ e_{2}$, мы можем получить $e_{1} = e_{2}$.

А по поводу того, что Вы не видите тут доказательства от противного мне нужно немного подумать.
В любом случае суть вопроса, если Вы, конечно, сумели уловить его суть (вполне допускаю, что задал я его не особо внятно), не поменяется, если вместо доказательства утверждения про единственность единицы в группах, Вы возьмёте какое угодно другое утверждение, в доказательстве которого сумеете разглядеть "от противного".

С Уважением.

[iifat]

ZaZaZone в сообщении #1558733 писал(а):

Вопрос: а есть ли какая-нибудь уверенность, что не существует какой - то хитрой последовательности выводов, которая приведёт к противоречию и обратное утверждение ?

Ну, для некоторых систем аксиом и правил вывода такая уверенность просто таки доказана. Для некоторых нет. Если уж очень интересно, попробуйте разобраться с теоремой Гёделя о неполноте — там, по-моему, сходные с вашим описанием рассуждения: из выводимости некоего высказывания следует выводимость его отрицания, из выводимости отрицания следует выводимость высказывания, из чего делается вывод о неполноьте системы аксиом.

[Someone]

ZaZaZone в сообщении #1558755 писал(а):

А по поводу того, что Вы не видите тут доказательства от противного мне нужно немного подумать.

Подумайте.

И в классической логике, и в конструктивной имеет место тавтология (тождественно истинная формула)

$$(A\Longrightarrow\neg A)\Longrightarrow\neg A,$$

которая иногда называется "доказательство приведением к абсурду": мы доказываем, что из $A$ следует $\neg A$, и, по правилу отделения (modus ponens) делаем вывод, что верно $\neg A$, то есть, $A$ неверно.

Если в написанной выше формуле заменить $A$ на $\neg A$, то получим

$$(\neg A\Longrightarrow\neg\neg A)\Longrightarrow\neg\neg A.$$

Эта формула тоже верна и в классической, и в конструктивной логике. Но в классической логике $\neg\neg A\Longleftrightarrow A$, поэтому получается

$$(\neg A\Longrightarrow A)\Longrightarrow A.$$

Это и есть доказательство от противного.

В конструктивной математике $A$ и $\neg\neg A$ не равносильны, есть только следование в одну сторону: $A\Longrightarrow\neg\neg A$. Поэтому доказательство от противного в конструктивной логике не работает. Зато часто утверждения теорем формулируются с двойными отрицаниями.
Забавно, что в конструктивной логике $\neg\neg\neg A$ и $\neg A$ всё-таки равносильны.

ZaZaZone в сообщении #1558755 писал(а):

В любом случае суть вопроса, если Вы, конечно, сумели уловить его суть (вполне допускаю, что задал я его не особо внятно), не поменяется, если вместо доказательства утверждения про единственность единицы в группах, Вы возьмёте какое угодно другое утверждение, в доказательстве которого сумеете разглядеть "от противного".

Я так и не понял, в чём состоят ваши претензии. Судя по тому, что Вы считаете доказательством от противного то, что таковым не является, Вы и сами этого не понимаете.

[tolstopuz]

ZaZaZone в сообщении #1558733 писал(а):

Взять, например, доказательство единственности единицы во всякой группе

Что именно, на ваш взгляд, тут доказывается? Как бы вы формализовали утверждение «не более одного элемента множества $X$ обладает свойством $P$»?