Явно же не о любых.
О любых не слишком простых, фактически.
Гораздо более надежный, чем все это мероприятие с формальными системами.
Вы вполне можете так считать (это даже разумно с какой-то точки зрения) -- потому что вся эта кухня показывает слабость формального метода, фактически. Однако, альтернатива формальному методу несколько туманна. Ну то есть в "обычной математике" мы берём мета-теорию, которая достаточно разумна и очень часто неформализована, как будто формализована или ну-мы-верим-что-она-может-быть-формализуема-но-вообще-не-верим-а-на-самом-деле-плевать. А дальше уже работаем: вот взяли мы стандартную модель натуральных чисел -- и работаем. Складываются числа понятно как, перемножаются понятно как ну и так далее.
Это разумно и правильно. Более того, это единственный способ продвинуться в математике (потому что даже для определения формальной системы вам нужны натуральные числа -- упс).
Проблема начинается тогда, когда мы хотим доказать что-то
сложное. Вот теорема Гудстейна. Вы
не можете её доказать с помощью интуитивных понятий о числах -- потому что натуральных чисел
много. Вы можете верить, что её истинность или ложность однозначно определена "на настоящих натуральных числах", но это не математическое утверждение.
Но не всё так плохо, есть решение: натуральные числа можно погрузить в теорию множеств, а потому можно выделить "настоящую", стандартную модель натуральных чисел -- в этой модели теорема Гудстейна истинна. Это всё ещё не значит, что эту теорему вы могли бы доказать с помощью наивного понятия о натуральных числах -- наивного понятия не хватает, потому что натуральных чисел
много. Однако это позволяет вам думать о теореме Гудстейна как о некоей универсальной платонической истине -- вот же они ваши настоящие натуральные числа.
Не забывайте, эта истина далась вам недёшево:
вместо непонятной теоремы вам пришлось принять гораздо более непонятную теорию множеств.
С континуум-гипотезой все так же, но гораздо хуже -- подмножеств у вещественных чисел
много. Конечно, если вы будете перебирать подмножества, которые вы можете перебирать -- они все не более, чем счётные или континуальные. Но подмножеств
слишком много -- и подавляющее большинство из них нельзя перебрать, пощупать, посмотреть или понять. При этом
у теории множеств нет стандартной модели. А значит,
мы не знаем, как ведут себя подмножества "на самом деле". Есть какое-то понимание -- если два множества объединить, то будет множество, например. Но это не помогает, более того, не помогает вообще ничего из того, что мы называем ZFC. Потому что нет интуитивно понятного и платонически истинного описания того, как ведут себя множества.
На "земных" множествах они обязаны давать одинаковые результаты.
Вот именно. Но земные множества -- это, ну пусть борелевские подмножества вещественных чисел. Но никак не все подмножества.
-- Чт июн 30, 2022 00:34:52 --Я вот ещё что скажу, вы в теме ранее задавали вопрос такого вида
Вот мне очень хотелось бы увидеть примеры применения нетривиальных результатов матлогики для задач в рамках обычных математических разделов. В тех учебниках, которые я читал, была человеческая логика. В научных статьях с архива, которые я немножко из интереса просматривал, тоже была самая обычная логика. Да, многие результаты мне там были не известны, но метод то как в учебнике. Формулируем теорему, доказываем ее, потом другую, потом еще одно следствие и, если повезет, приходим к какому-то результату. Выхода за рамки обычной логики вроде как и не было.
Это всё было к ненужности формального метода -- типа "обычная логика" и так всё делает.
Тем не менее, в ещё одной теме вы делаете вот такое
Получилась самая обычная цепочка вложенных подпространств
. Почему не гарантируется получить бесконечную цепочку, если я ее прямо предъявил?
И я (и далеко не только я) вам даже ответил
Вы не предъявляете бесконечную цепочку. Вы говорите, что для любого натурального числа
существует цепочка длины
.
Вот это типичный пример "неправильной обычной логики" -- потому что вы не чувствуете разницы между этими вещами. Потому что в бесконечном множестве
много элементов -- их не получается чувствовать.