Группа и её автоморфизмы

[B@R5uk]

Есть вот такая группа:

$$G=\operatorname{Aut}(Q_{20})=\operatorname{Aut}(D_{20})=\mathbb{Z}_{10}\rtimes\mathbb{Z}_4=\langle\;a,b\;|\;a^{10}=b^4=e,\;ab=ba^3\;\rangle$$

Программа утверждает, что эта группа сама себе группа автоморфизмов:

$$G=\operatorname{Aut}(G)$$

Но при этом число внутренних автоморфизмов в два раза меньше их полного числа, равного порядку группы, соответственно. Это нормально? (По идее же, каждый элемент группы должен порождать автоморфизм). Если да, то почему так происходит в одних случаях и не происходит в других? (Например, с $D_6=\operatorname{Aut}(D_6)$ всё нормально).

[Slav-27]

У естественного отображения $G\to\mathrm{Aut}(G)$ бывает ядро, оно называется центр.

[B@R5uk]

Мммм... А можно поподробней?

Вы утверждаете, что функция

$$f:G\to\operatorname{Aut}(G)$$

которая каждому элементу g конечной группы G ставит с помощью сопряжения в соответствие автоморфизм группы G

$$g''=f_g\left(g'\right):=gg'g^{-1}$$

является на самом деле гомоморфизмом, а не изоморфизмом. Всё из-за того, что если в группе G имеется центр, то элементы этого центра

$$\widehat{g}\in\operatorname{Z}\left(G\right)$$

функцией f отображаются в тривиальный автоморфизм группы:

$$g''=f_{\widehat{g}}\left(g'\right)=\widehat{g}g'\widehat{g}^{-1}=g'\widehat{g}\widehat{g}^{-1}=g'$$

То есть центр группы является ядром функции f. И даже если

$$G\simeq\operatorname{Aut}(G)$$

если центр группы G нетривиален

$$\operatorname{Z}\left(G\right)\ne\left\{e\right\}$$

то гомоморфизм f порождает лишь подгруппу, а не целиком группу автоморфизмов. Я правильно понимаю?

В моём случае в группе

$$G_{40}=\mathbb{Z}_{10}\rtimes\mathbb{Z}_4=\langle\;a,b\;|\;a^{10}=b^4=e,\;ab=ba^3\;\rangle$$

есть нетривиальный элемент

$$\widehat{g}=a^5$$

который коммутирует со всеми элементами группы (достаточно продемонстрировать для образующих):

$$aa^5=a^6=a^5a$$

$$ba^5=ba^{15}=aba^{12}=a^2ba^9=a^3ba^6=a^4ba^3=a^5b$$

что в конечном счёте приводит к тому, что группа внутренних автоморфизмов группы $G_{40}$ в два раза меньше самой группы $G_{40}$.

[Slav-27]

Да, вроде бы всё правильно. Наверно, у неё ещё есть автоморфизм, не являющийся внутренним, то есть не получающийся как сопряжение каким-нибудь элементом.

-- 28.06.2022, 11:36 --

B@R5uk в сообщении #1558685 писал(а):

является на самом деле гомоморфизмом, а не изоморфизмом

Да, она бывает неинъективной и несюръективной.

[B@R5uk]

Slav-27, спасибо, ситуация прояснилась.

Тут, правда, возникает другой вопрос: а почему такое вообще возможно? То есть, если в группе G есть нетривиальный центр, то почему не смотря на это изоморфность

$$G\simeq\operatorname{Aut}(G)$$

возможна? То есть, на вопрос "возможно ли?" лучше всего ответить конкретным примером, что, собственно, сделано выше, но вопрос "почему?" остаётся после этого открытым.

[Slav-27]

Потому что бывают невнутренние автоморфизмы.

[B@R5uk]

Ну, это слишком общее утверждение. Хотелось бы что-нибудь типа достаточного условия.

[Slav-27]

Какая-то наука про автоморфизмы групп есть, но не сильно развитая, например, бывают ли конечные $p$-группы с таким свойством, кроме $D_8$ -- это вроде бы открытая проблема.

[B@R5uk]

Slav-27 в сообщении #1558693 писал(а):

с таким свойством, кроме $D_8$

О, такая маленькая группа тоже имеет эту проблему с центром. Странно что я раньше этого не заметил, когда заполнял начало своей таблички групп. Забавно. Я тут уже хотел толкнуть гипотезу, что одним из достаточных условий является разложимость

$$G=G/\operatorname{Z}\left(G\right)\rtimes\operatorname{Z}\left(G\right)$$

которая для группы $G_{40}$ выше выполняется, но ваш пример отвергает эту гипотезу.

-- 28.06.2022, 12:25 --

Slav-27 в сообщении #1558693 писал(а):

бывают ли конечные $p$-группы с таким свойством, кроме $D_8$ -- это вроде бы открытая проблема.

Ну, все группы автоморфизмов чётные (так как всегда есть автоморфизм порядка 2, заменяющий прямые элементы на обратные (кроме случая $\mathbb{Z}_2^n$)), так что $p=2$. Вроде бы бери да перебирай их одну за другой. С другой стороны, я видел как безумно быстро растёт количество групп порядка $2^n$ с ростом n. Трудно сказать плюс ли это для численного поиска в лоб (больше вероятность наткнуться на положительный результат) или минус (большой объём работы в пустую).

[Slav-27]

B@R5uk в сообщении #1558695 писал(а):

всегда есть автоморфизм порядка 2, заменяющий прямые элементы на обратные

Если группа неабелева, то это не автоморфизм.

[B@R5uk]

Ух, вы поправили моё серьёзное заблуждение, спасибо. Как тогда в общем случае указать автоморфизм порядка 2?

[Slav-27]

Я думаю, что в общем случае их может и не быть.

[B@R5uk]

В смысле, могут существовать группы автоморфизмов конечных групп нечётного порядка? То есть, где

$$\left|\operatorname{Aut}\left(G\right)\right|=2k-1,\,k\in\mathbb{N}$$

кроме тривиальных случаев $G=\mathbb{Z}_1$ и $G=\mathbb{Z}_2$?

[Slav-27]

Думаю, что могут.

[B@R5uk]

Slav-27 в сообщении #1558704 писал(а):

Думаю, что могут.

ОК, тогда верно ли следующее утверждение: "Автоморфизм конечной группы однозначно определяется отображением её образующих"? Это утверждение является краеугольным камнем в построении автоморфизмов в моей программе для численного исследования конечных групп. Будет очень плохо, если оно окажется неверным (я его принял как аксиому).