2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 01:54 
Аватара пользователя
Есть вот такая группа: $$G=\operatorname{Aut}(Q_{20})=\operatorname{Aut}(D_{20})=\mathbb{Z}_{10}\rtimes\mathbb{Z}_4=\langle\;a,b\;|\;a^{10}=b^4=e,\;ab=ba^3\;\rangle$$ Программа утверждает, что эта группа сама себе группа автоморфизмов: $$G=\operatorname{Aut}(G)$$ Но при этом число внутренних автоморфизмов в два раза меньше их полного числа, равного порядку группы, соответственно. Это нормально? (По идее же, каждый элемент группы должен порождать автоморфизм). Если да, то почему так происходит в одних случаях и не происходит в других? (Например, с $D_6=\operatorname{Aut}(D_6)$ всё нормально).

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 02:04 
У естественного отображения $G\to\mathrm{Aut}(G)$ бывает ядро, оно называется центр.

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 10:23 
Аватара пользователя
Мммм... Изображение А можно поподробней?

Вы утверждаете, что функция $$f:G\to\operatorname{Aut}(G)$$ которая каждому элементу g конечной группы G ставит с помощью сопряжения в соответствие автоморфизм группы G $$g''=f_g\left(g'\right):=gg'g^{-1}$$ является на самом деле гомоморфизмом, а не изоморфизмом. Всё из-за того, что если в группе G имеется центр, то элементы этого центра $$\widehat{g}\in\operatorname{Z}\left(G\right)$$ функцией f отображаются в тривиальный автоморфизм группы: $$g''=f_{\widehat{g}}\left(g'\right)=\widehat{g}g'\widehat{g}^{-1}=g'\widehat{g}\widehat{g}^{-1}=g'$$ То есть центр группы является ядром функции f. И даже если $$G\simeq\operatorname{Aut}(G)$$ если центр группы G нетривиален $$\operatorname{Z}\left(G\right)\ne\left\{e\right\}$$ то гомоморфизм f порождает лишь подгруппу, а не целиком группу автоморфизмов. Я правильно понимаю?

В моём случае в группе $$G_{40}=\mathbb{Z}_{10}\rtimes\mathbb{Z}_4=\langle\;a,b\;|\;a^{10}=b^4=e,\;ab=ba^3\;\rangle$$ есть нетривиальный элемент $$\widehat{g}=a^5$$ который коммутирует со всеми элементами группы (достаточно продемонстрировать для образующих): $$aa^5=a^6=a^5a$$ $$ba^5=ba^{15}=aba^{12}=a^2ba^9=a^3ba^6=a^4ba^3=a^5b$$ что в конечном счёте приводит к тому, что группа внутренних автоморфизмов группы $G_{40}$ в два раза меньше самой группы $G_{40}$.

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 10:34 
Да, вроде бы всё правильно. Наверно, у неё ещё есть автоморфизм, не являющийся внутренним, то есть не получающийся как сопряжение каким-нибудь элементом.

-- 28.06.2022, 11:36 --

B@R5uk в сообщении #1558685 писал(а):
является на самом деле гомоморфизмом, а не изоморфизмом
Да, она бывает неинъективной и несюръективной.

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 10:52 
Аватара пользователя
Slav-27, спасибо, ситуация прояснилась.

Тут, правда, возникает другой вопрос: а почему такое вообще возможно? То есть, если в группе G есть нетривиальный центр, то почему не смотря на это изоморфность $$G\simeq\operatorname{Aut}(G)$$ возможна? То есть, на вопрос "возможно ли?" лучше всего ответить конкретным примером, что, собственно, сделано выше, но вопрос "почему?" остаётся после этого открытым.

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 11:04 
Потому что бывают невнутренние автоморфизмы.

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 11:25 
Аватара пользователя
Ну, это слишком общее утверждение. Хотелось бы что-нибудь типа достаточного условия.

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 11:36 
Какая-то наука про автоморфизмы групп есть, но не сильно развитая, например, бывают ли конечные $p$-группы с таким свойством, кроме $D_8$ -- это вроде бы открытая проблема.

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 12:18 
Аватара пользователя
Slav-27 в сообщении #1558693 писал(а):
с таким свойством, кроме $D_8$
О, такая маленькая группа тоже имеет эту проблему с центром. Странно что я раньше этого не заметил, когда заполнял начало своей таблички групп. Забавно. Я тут уже хотел толкнуть гипотезу, что одним из достаточных условий является разложимость $$G=G/\operatorname{Z}\left(G\right)\rtimes\operatorname{Z}\left(G\right)$$ которая для группы $G_{40}$ выше выполняется, но ваш пример отвергает эту гипотезу.

-- 28.06.2022, 12:25 --

Slav-27 в сообщении #1558693 писал(а):
бывают ли конечные $p$-группы с таким свойством, кроме $D_8$ -- это вроде бы открытая проблема.
Ну, все группы автоморфизмов чётные (так как всегда есть автоморфизм порядка 2, заменяющий прямые элементы на обратные (кроме случая $\mathbb{Z}_2^n$)), так что $p=2$. Вроде бы бери да перебирай их одну за другой. С другой стороны, я видел как безумно быстро растёт количество групп порядка $2^n$ с ростом n. Трудно сказать плюс ли это для численного поиска в лоб (больше вероятность наткнуться на положительный результат) или минус (большой объём работы в пустую).

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 12:55 
B@R5uk в сообщении #1558695 писал(а):
всегда есть автоморфизм порядка 2, заменяющий прямые элементы на обратные
Если группа неабелева, то это не автоморфизм.

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 13:37 
Аватара пользователя
Ух, вы поправили моё серьёзное заблуждение, спасибо. Как тогда в общем случае указать автоморфизм порядка 2?

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 13:41 
Я думаю, что в общем случае их может и не быть.

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 14:26 
Аватара пользователя
В смысле, могут существовать группы автоморфизмов конечных групп нечётного порядка? То есть, где $$\left|\operatorname{Aut}\left(G\right)\right|=2k-1,\,k\in\mathbb{N}$$
кроме тривиальных случаев $G=\mathbb{Z}_1$ и $G=\mathbb{Z}_2$?

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 14:29 
Думаю, что могут.

 
 
 
 Re: Группа и её автоморфизмы
Сообщение28.06.2022, 14:31 
Аватара пользователя
Slav-27 в сообщении #1558704 писал(а):
Думаю, что могут.

ОК, тогда верно ли следующее утверждение: "Автоморфизм конечной группы однозначно определяется отображением её образующих"? Это утверждение является краеугольным камнем в построении автоморфизмов в моей программе для численного исследования конечных групп. Будет очень плохо, если оно окажется неверным (я его принял как аксиому).

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group