Подстановкой
,
данное уравнение приводится к виду
, где
- однородный многочлен четвёртой степени с целыми коэффициентами,
- константа (сами коэффициенты не привожу, так как они большие).
Докажем, что это уравнение имеет конечное количество решений в целых числах. Будем обозначать
степень, с которой входит простое число
в разложение
. Предположим, что для некоторого
будет
. Пусть
,
. Тогда
. Отсюда видно, что
. Пусть
. Тогда
. Получили аналогичное уравнение, но с меньшим
. Таким образом в уравнении
можно считать, что для любого простого
, такого, что
(
) будет выполнено
.
Пусть
,
. Тогда
. Пусть простое число
таково, что
и
. Тогда рассмотрением уравнения
по модулю
получаем, что
.
Пусть теперь
. Для определённости будем считать, что
. Тогда возможны два случая:
1)
. Тогда
2)
. Применив функцию
к рассматриваемому уравнению, получим
. Отсюда следует, что
.
Пусть, наконец,
и
. Тогда
.
Из всего вышесказанного слудует, что для любого простого числа
будет выполнено
. Это означает, что
, где
. Получается, что исходное уравнение свелось к множеству уравнений Туэ.