Подстановкой

,

данное уравнение приводится к виду

, где

- однородный многочлен четвёртой степени с целыми коэффициентами,

- константа (сами коэффициенты не привожу, так как они большие).
Докажем, что это уравнение имеет конечное количество решений в целых числах. Будем обозначать

степень, с которой входит простое число

в разложение

. Предположим, что для некоторого

будет

. Пусть

,

. Тогда

. Отсюда видно, что

. Пусть

. Тогда

. Получили аналогичное уравнение, но с меньшим

. Таким образом в уравнении

можно считать, что для любого простого

, такого, что

(

) будет выполнено

.
Пусть

,

. Тогда

. Пусть простое число

таково, что

и

. Тогда рассмотрением уравнения

по модулю

получаем, что

.
Пусть теперь

. Для определённости будем считать, что

. Тогда возможны два случая:
1)

. Тогда

2)

. Применив функцию

к рассматриваемому уравнению, получим

. Отсюда следует, что

.
Пусть, наконец,

и

. Тогда

.
Из всего вышесказанного слудует, что для любого простого числа

будет выполнено

. Это означает, что

, где

. Получается, что исходное уравнение свелось к множеству уравнений Туэ.