Варианты с минусом мы исключили. Рассмотрим варианты с плюсом.
У меня была где-то в подсознании мысль, что нужно вернуться к факторизации

, но не додумал эту мысль до конца. Пока ошибок не нашёл, но 100% уверенности нет.
Можете более подробно выписать, как это получается? Возможно, здесь пропущен случай

.
Аналогия была такая:

,

,

, где

- натуральное число, возможно составное,

- простое число.
Тогда из

получаем

простое число

делит только одно число в скобках справа. Тогда другое число в скобках справа является либо полным квадратом, либо
удвоенным утроенным квадратом. И имеем четыре варианта:


Но Вы правы, так как

и

имеют (

- обязательно нечётное) общий делитель

, то одна двойка может уехать в одну скобку, а остальные - в другую
(Оффтоп)
случаи в очередной раз плодятся, как тараканы.
-- 24.06.2022, 18:35 --Более того.
Так как слева у нас чётная степень двойки. А справа одна скобка делится на нечетную степень (ровно на

), то и вторая делится на нечётную степень двойки.
Тогда нужно было записать так:


