2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Диофантово уравнение вида a n^4 +/- b n^2 = c m^4 +/- d m^2
Сообщение29.06.2022, 12:42 


21/04/22
356
EUgeneUS в сообщении #1558778 писал(а):
Результаты Беннета - мощный метод, к сожалению, он работает только при двух условиях:
1. Свободный член равен $\pm 1$
2. Найдено решение, которое и будет единственным.

Возможно, этого будет достаточно. Я посмотрел случай $x = 6n^2 \pm 1$, $y = 2m^2 \pm 1$. Если нигде не ошибся, там все уравнения решаются просто (уравнения вида $x^4 - 2^a3^by^4 = 1$ решаются бесконечным спуском).

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение вида a n^4 +/- b n^2 = c m^4 +/- d m^2
Сообщение29.06.2022, 18:46 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
mathematician123
Некоторые комментарии
1.
mathematician123 в сообщении #1558773 писал(а):
Тогда $ad^2 - bc^2 = -108$. Это приводит к уравениям $a^4 - 54b^4 = z$, $z \mid 108$.

Тут "перегружены идентификаторы" $a$ и $b$. ИМХО, вместо $a^4 - 54b^4 = z$ лучше использовать, как ранее, $m_1^4 - 54n_1^4 = z$

2. Сделал таблицу для наглядности (кликабельно):
Изображение
Раскраска:
а) светло красный - исключено "столбцами"
б) светло жёлтый - исключено через рассмотрение отдельных уравнений
в) светло зеленый - исключено через рассмотрение уравнений Туэ (там весь квадрант исключается)

3. В Теореме 1.1. у Беннета речь о не более чем одном решении уравнения $|a x^n - b y^n| = 1$. Это означает, в частности, что наличие решения $(1,1)$ для $3x^4 - 2y^4 = 1$
а) не только исключает другие решения для $3x^4 - 2y^4 = 1$
б) но и исключает наличие решений для $3x^4 - 2y^4 = -1$

Это можно использовать в правом нижнем квадранте таблицы, например.

4. С другой стороны, в Теореме 1.1. у Беннета речь о положительных целых решениях. В частности, для уравнения вида $|a x^n - y^n| = 1$ есть тривиальное решение $(0,1)$, но оно не попадает под условия Теоремы 1.1 :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение вида a n^4 +/- b n^2 = c m^4 +/- d m^2
Сообщение29.06.2022, 21:49 


21/04/22
356
Рассмотрим случай $x = 6n^2 \pm 1$, $y = 2m^2 \pm 1$. Тогда $27n^4 - 2m^4 = \pm 9n^2 \pm 2m^2$, $ad^2 - bc^2 = -54$. Получаем уравнения $2m_1^4 - 27n_1^4 = z$, $z \mid 54$. Если $z$ делится на 2, то $z \equiv 2 \pmod{4}$. Если $z$ делится на 3, то $z$ делится на 27. Тогда получаем, что $z \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 27, \pm 54\} $. Так как $2m_1^4 - 27n_1^4 \bmod 16 \in \{ 0, 2, 5, 7\} $, то множество возможных значений $z$ сокращается: $z \in \{ 2,  -27 \} $. Отсюда следует $2m_1^4 - 27n_1^4 = 2$ или $2m_1^4 - 27n_1^4 = -27$. После замен $n_1 = 2n_2$ или $m_1 = 3m_2$ получаем уравнения $m_1^4 - 216n_2^4 = 1$ и $6m_2^4 - n_1^4 = -1$, которые решаются методом бесконечного спуска.

-- 29.06.2022, 21:55 --

EUgeneUS в сообщении #1558844 писал(а):
Раскраска:
а) светло красный - исключено "столбцами"
б) светло жёлтый - исключено через рассмотрение отдельных уравнений
в) светло зеленый - исключено через рассмотрение уравнений Туэ (там весь квадрант исключается)


Пункты а) и б) не исключают ни одного блока из четырёх уравнений. Скорее всего, через пункт в) можно будет исключить все уравнения, и исключения через пункты а) и б) не понадобятся. Как минимум, два блока уже удалось исключить.

-- 29.06.2022, 22:31 --

mathematician123 в сообщении #1558844 писал(а):
Как минимум, два блока уже удалось исключить.

Посмотрел два оставшихся блока. Их тоже можно исключить. Решение там аналогичное. Получается, что все 16 уравнений удалось решить. В решении использовались следующие методы:
1) Сведение исходных уравнений к уравнениям Туэ четвёртой степени. В пунктах 2-4 изложены методы решения этих уравнений Туэ.
2) Анализ делимости на степени 2 и 3.
3) Решение уравнений вида $x^4 - 2^u3^vy^4 = 1$ методом бесконечного спуска.
4) Отсутствие решений уравнения $3x^4 - 2y^4 = 1$ при $x > 1$. Это самое сложное уравнение. Отсутствие его решений следует из теоремы 1.1 статьи Bennett.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение вида a n^4 +/- b n^2 = c m^4 +/- d m^2
Сообщение30.06.2022, 09:25 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
mathematician123 в сообщении #1558844 писал(а):
Посмотрел два оставшихся блока. Их тоже можно исключить. Решение там аналогичное. Получается, что все 16 уравнений удалось решить

Бинго! :appl:

(Оффтоп)

Кстати, "Бинго!" кричат, когда карточка в лото полностью заполнена :mrgreen:


1. Хорошо бы для полноты рассмотреть найденные решения ($(1,1)$ и $(3,1)$ тоже находилось) и показать, что они не подходят. Но там ничего сложного, просто нужно не забыть при оформлении.
2. Также при оформлении хорошо бы сделать переобозначение: вспомогательные числа $m,n$ обозначить $m,l$. Чтобы $n$ не путалось с обозначением места в цепочке.
3. На выходных постараюсь выбрать время для оформления в нашем проекте в Papeeria первой части (до вывода уравнений 4-й степени включительно). Думаю, разбивать на два файла - смысла нет.

-- 30.06.2022, 09:27 --

mathematician123 в сообщении #1558844 писал(а):
3) Решение уравнений вида $x^4 - 2^u 3^v y^4 = 1$ методом бесконечного спуска.


Можете описать этот метод несколько подробнее? Что-то не соображу в очередной раз :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение вида a n^4 +/- b n^2 = c m^4 +/- d m^2
Сообщение30.06.2022, 10:46 


21/04/22
356
EUgeneUS в сообщении #1558890 писал(а):
Можете описать этот метод несколько подробнее? Что-то не соображу в очередной раз :roll:

Например, возьмём уравнение $x^4-24y^4 = 1$. Преобразуем: $(x^2-1)(x^2+1) = 6y^4$. Так как $x^2+1$ не может делится на 3 и 4, то $x^2-1 = 48x_1^4$, $x^2+1 = 2x_2^4$. Откуда $x_2^4 - 24x_1^4 = 1$. Аналочино получаем, что $x_2^2-1 = 12x_3^4$ и $x_2^2+1 = 2x_4^4$. Откуда $x_4^4 - 6x_3^4 = 1$. И получается бесконечный спуск.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение вида a n^4 +/- b n^2 = c m^4 +/- d m^2
Сообщение30.06.2022, 11:37 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
mathematician123
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group