Рассмотрим случай
,
. Тогда
,
. Получаем уравнения
,
. Если
делится на 2, то
. Если
делится на 3, то
делится на 27. Тогда получаем, что
. Так как
, то множество возможных значений
сокращается:
. Отсюда следует
или
. После замен
или
получаем уравнения
и
, которые решаются методом бесконечного спуска.
-- 29.06.2022, 21:55 --Раскраска:
а) светло красный - исключено "столбцами"
б) светло жёлтый - исключено через рассмотрение отдельных уравнений
в) светло зеленый - исключено через рассмотрение уравнений Туэ (там весь квадрант исключается)
Пункты а) и б) не исключают ни одного блока из четырёх уравнений. Скорее всего, через пункт в) можно будет исключить все уравнения, и исключения через пункты а) и б) не понадобятся. Как минимум, два блока уже удалось исключить.
-- 29.06.2022, 22:31 --Как минимум, два блока уже удалось исключить.
Посмотрел два оставшихся блока. Их тоже можно исключить. Решение там аналогичное. Получается, что все 16 уравнений удалось решить. В решении использовались следующие методы:
1) Сведение исходных уравнений к уравнениям Туэ четвёртой степени. В пунктах 2-4 изложены методы решения этих уравнений Туэ.
2) Анализ делимости на степени 2 и 3.
3) Решение уравнений вида
методом бесконечного спуска.
4) Отсутствие решений уравнения
при
. Это самое сложное уравнение. Отсутствие его решений следует из теоремы 1.1 статьи Bennett.