Интеграл численно

[B@R5uk]

alisa-lebovski в сообщении #1558436 писал(а):

Но что странно: функция резко растет на отрезке $\varphi$ от 5.84 до 5.85, как будто она там вообще разрывная, может быть, какой-то вычислительный глюк.

При этих значениях угла максимум функции

$$\psi\left(x\right)=\cos\left(x-\varphi\right)-\exp\left(-x\right)$$

подходит снизу к нулю и пересекает его. При этом вблизи нуля рождается пара корней, которая даёт наибольший вклад в сумму ниже (за счёт своей близости к нулю).

$$f\left(\varphi\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n\exp\left(-\xi_n\right)$$

Поскольку ноль пересекается гладкой функцией с квадратичной выпуклостью вверх, то рост суммы вблизи этого значения угла происходит почти (с поправкой на экспоненту) как рост квадратного корня вблизи (его) нуля. Пока мне не совсем понятно, есть ли там излом или нет. Кажется, что есть, но надо проверять.



-- 25.06.2022, 19:29 --

B@R5uk в сообщении #1558476 писал(а):

ноль пересекается гладкой функцией с квадратичной выпуклостью вверх

И это, кстати, очень и очень плохо для численного расчёта этих корней, поскольку обращаемая функция является разностью больших чисел, которая близка к нулю. Тут надо что-то хитрое сгородить (например, вывернуть функцию наизнанку как-нибудь), хотя бы до тех пор, пока нули не разойдутся на приличное расстояние, иначе точности никакой не будет.

Излом в точке рождения корней, разумеется есть, причём справа в точке производная искомой функции угла обращается в бесконечность, а сама функция справа в эпсилон-окрестности ведёт себя как квадратный корень (с коэффициентом).

[Евгений Машеров]

svv в сообщении #1558475 писал(а):

Внутри скобок условие $>1$, а не $>0$.

Да, сорри. Что-то сослепу не разглядел. Но всё равно сводится к нахождению решений нелинейного уравнения.

[ihq.pl]

Евгений Машеров в сообщении #1558479 писал(а):

Но всё равно сводится к нахождению решений нелинейного уравнения.

Думаю, можно и не решать нелинейные уравнения. В ряде, который у меня получился, надо считать интегралы

$$b_k(\varphi)=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\mathbf{I}\{e^t\cos t > e^{-\varphi-2\pi k}\}e^{-t}dt.$$

Просто брать те точки в интегральной сумме, которые удовлетворяют неравенству, и всё. Вряд-ли это как-нибудь существенно отразится на точности, т.к. ряд сходится быстро. Хотя... кто знает. Может, всё-таки лучше решать)

[B@R5uk]

Оке, приравняв уравнение и его производную нулю можно получить, что корни рождаются при

$$x_0=\frac{\ln 2}{2}$$

$$\varphi_0=\frac{\ln 2}{2}-\frac{\pi}{4}$$

Угол может быть так же записан как

$$\varphi_1=\frac{\ln 2}{2}+\frac{7\pi}{4}\approx 5,8443607341$$

Проблему нерегулярности функции вблизи этой точки решить пока не получается. Причём эта проблема одинаково остро стоит как в записи искомой функции через ряд с обратными функциями $\xi_n\left(\varphi\right)$, так и в интегральной записи этой функции. Просто потому, что из-за ошибок округления в числе с конечной точностью аргумент индикаторной функции вычисляется с относительной ошибкой больше 100% на промежутке, ширина которого сравнима со значением искомой функции. Всё из-за плохого поведения функции: она ведёт себя как корень.

[ihq.pl]

B@R5uk в сообщении #1558482 писал(а):

Проблему нерегулярности функции вблизи этой точки решить пока не получается.

Cогласен, интересно понять почему начинается резкий рост при $\varphi\approx 5.8$. Мне кажется, вот почему (м.б. вы это и имели в виду, но я не увидел). Oбозначим

$$g_k(x) = \mathbf{I}\{e^x\cos x > e^{-\varphi-2\pi k}\}e^{-x}.$$

Ясно, что $g_k(x)=0$, если $\cos x \le 0$. Этим можно воспользоваться и переписать интеграл в виде

$$I(\varphi) = e^{-\varphi}[a(\varphi) + \sum_{k=0}^{\infty}b_k(\varphi)e^{-2\pi k}],$$

где

$$a(\varphi) = \int\limits_{-\varphi}^0 g_0(x)dx, \quad b_0(\varphi) = \int\limits_0^{\pi/2} g_0(x)dx, \quad b_k(\varphi) = \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} g_k(x)dx. $$

Вот, думаю, что загвоздка в члене $a(\varphi)$. Для него получается:

$$a(\varphi) = \int_{-\varphi}^0 g_0(x)dx, если \varphi \in [0,\pi/2]$$

$$a(\varphi) = \int_{-\pi/2}^0 g_0(x)dx, если \varphi \in [\pi/2, 3\pi/2]$$

$$a(\varphi) = \int_{-\varphi}^{-3\pi/2} g_0(x)dx + \int_{-\pi/2}^0 g_0(x)dx, если \varphi \in [3\pi/2, 2\pi]$$

[zykov]

ihq.pl в сообщении #1558516 писал(а):

интересно понять почему начинается резкий рост при $\varphi\approx 5.8$.

Потому что

zykov в сообщении #1558447 писал(а):

Да, при 5.84 косинус почти касается экспоненты и далее при росте возникает новый отрезок вблизи нуля (по $q$), длина которого поначалу быстро растёт

В wxMaxima можно построить графики командами:

Используется синтаксис Matlab M

plot2d([cos(-x+fi), exp(-x)], [x,0,20], [plot_format, gnuplot]), fi=5.84;
plot2d([cos(-x+fi), exp(-x)], [x,0,1], [plot_format, gnuplot]), fi=5.84;

Далее, можно менять интревал (здесь [0,20] и [0,1]) и $\varphi$.

[ihq.pl]

zykov, я немного не так выразился. Лично мне было интересно понять, в каком члене ряда происходит заметный рост. И похоже, это действительно в $a(\varphi)$, конкретно в первом слагаемом для случая $\varphi \in [3\pi/2, 2\pi]$. Там интервал, на котором $g_0(x)>0$, быстро растет начиная с нуля при $\varphi \approx 5.85$

[B@R5uk]

ihq.pl в сообщении #1558516 писал(а):

интересно понять почему начинается резкий рост при $\varphi\approx 5.8$

Если вы возьмёте параболу и будете наблюдать, какую длину отрезка она отсекает на горизонтальной прямой, то обнаружите, что пока прямая ниже нуля, то длина равна нулю (отрезок отсутствует), а при переходе прямой через ноль, на ней появляются две точки, расстояние между которыми растёт как квадратный корень при подъёме прямой. В задаче ТС происходит ровно то же самое, только с периодичностью два пи.

-- 26.06.2022, 17:30 --

А проблема, о которой я толкую, наглядно выглядит так:



Заметьте масштаб по оси икс и по оси игрек. И какова величина неопределённости из-за ошибок округления у аргумента функции, когда она пересекает ноль. И как эта неопределённость соотносится с расстоянием между нулями функции (гипотетическим, так как по графику его точно не прикинуть).

Код, строящий график, выглядит так:

Используется синтаксис Matlab M

%https://dxdy.ru/post1558470.html
clc
clearvars
format compact

x0 = log (2) / 2;
phi = x0 - pi / 4 + 3e-16;
disp (eps (phi))
%    5.5511e-017

myfunc1 = @ (x, p) cos (x - p) .* exp (x) - 1;
myfunc2 = @ (x, p) cos (x - p) - exp (-x);

xx = (-1 : 1e-5 : 1)' / 4e7;
yy1 = myfunc1 (x0 + xx, phi);
yy2 = myfunc2 (x0 + xx, phi);

subplot (111)
plot (xx, yy1, 'g')
hold on
plot (xx, yy2)
hold off
grid on
 

Разумеется, с увеличением расстояния между корнями ситуация резко улучшается. Причём не только относительная погрешность, но и абсолютная неопределённость в положении нуля резко падает, так как растёт производная функции в искомом её нуле.

[ihq.pl]

B@R5uk в сообщении #1558534 писал(а):

Заметьте масштаб по оси икс и по оси игрек. И какова величина неопределённости из-за ошибок округления у аргумента функции, когда она пересекает ноль.

Да. И поэтому важно локализовать эту проблему, т.е. найти тот член ряда, в котором она возникает. Его лучше, наверное, вычислять аналитически, решая нелинейные уравнения. Остальные члены ряда, думаю, можно считать численно.

[B@R5uk]

ihq.pl в сообщении #1558539 писал(а):

И поэтому важно локализовать эту проблему

Первый, очевидно. Вновь рождающиеся корни находятся ближе всего к нулю. Кстати, все корни неотрицательны, так что ваша $a(\varphi)$ равна нулю тождественно. Как-то вы слишком запутанно пытаетесь задачу решить.

[ihq.pl]

B@R5uk в сообщении #1558540 писал(а):

Кстати, все корни неотрицательны

После замены переменной в интеграле - нет) У меня ряд чуть другой.

[B@R5uk]

ihq.pl в сообщении #1558541 писал(а):

После замены переменной в интеграле

После вашей замены со сдвигом на фи? А зачем вообще такое делать? И без этого интеграл красиво распадается в сумму и никакой мороки с областями.

[ihq.pl]

B@R5uk, может, чего не доглядел.. Показалось, лучше будет, если пределы интегрирования не будут зависеть от $\varphi$. Для $b_k(\varphi)$ пределы фиксированы. Это по-моему удобно. Нет? Ну да, пределы интеграла в $a(\varphi)$ зависят от $\varphi$, но этот член особенный)

-- 26.06.2022, 19:27 --

И потом, остаток моего ряда с точностью до постоянного множителя совпадает с остатком ряда $\sum e^{-2\pi k}$, который не зависит от $\varphi$. Хотя, может, у zykovа остаток тоже не зависит от $\varphi$.

[B@R5uk]

ihq.pl в сообщении #1558544 писал(а):

Показалось, лучше будет, если пределы интегрирования не будут зависеть от $\varphi$.

Так вы до конца проинтегрируйте. Чтобы результат в виде функции уже был, а не в виде интеграла.

[ihq.pl]

B@R5uk, думаю, что численный результат для $b_ke^{-2\pi k}$ не будет существенно отличаться от "аналитического". Во всяком случае для $k>0$. Ну и возвращаясь к вопросу о виде ряда, не утверждаю, но и не исключаю, что ряд у zykov менее выгоден в плане выделения особенных членов. А вы пробовали уже считать? У меня вычислительных ресурсов недостаточно для этого.