Теорема об ортогональности градиента

[give_up]

Здравствуйте. В википедии приводится следующая теорема из матанализа:

Цитата:

Если функция $f$ дифференцируема, то градиент функции $f$ в точке либо равен нулю, либо перпендикулярен множеству уровня функции $f$ в точке.

Ее доказательство довольно простое и выписано, например, здесь. Как я понял, эту теорему можно перефразировать следующим образом:
Пусть функция $f: X \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ дифференцируема на множестве $X$, и точка $\mathbf{x}_0 \in X$ такова, что $\nabla f(\mathbf{x}_0) \neq \mathbf{0}$. Тогда в точке $\mathbf{x}_0$ градиент $\nabla f(\mathbf{x}_0)$ ортогонален касательной гиперплоскости к гиперповерхности уровня $f(\mathbf{x}_0)$ (эта гиперповерхность представляет из себя множество $\{\mathbf{x} \in X: ~ f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0)\} \subset \mathbb{R}^n$).

Вопрос в том, можно ли ослабить требование дифференцируемости функции $f$ на множестве $X$ таким образом, чтобы утверждение теоремы осталось тем же? То есть можно ли в условии теоремы заменить фразу "дифференцируема на множестве $X$" на что-то из следующего списка:
1. дифференцируема на множестве $\{\mathbf{x} \in X: ~ f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0)\} \subset \mathbb{R}^n$
2. дифференцируема в точке $\mathbf{x}_0 \in X$
3. дифференцируема на каком-то другом подмножестве области определения $X$ ?

[Brukvalub]

В разъяснении по вашей же ссылке есть ответ на ваш вопрос.

[ihq.pl]

give_up в сообщении #1558303 писал(а):

Вопрос в том, можно ли ослабить требование дифференцируемости функции $f$ на множестве $X$ таким образом, чтобы утверждение теоремы осталось тем же?

Вряд-ли. Как раз в этой теореме требование дифференцируемости функции важно.

[give_up]

Brukvalub в сообщении #1558313 писал(а):

В разъяснении по вашей же ссылке есть ответ на ваш вопрос.

Не увидел там ответа.
Увидел лишь то, что теорема доказывается применением правила дифференцирования сложной функции в точке $t_0 = 0$. Это правило требует дифференцируемости кривой $\gamma(t)$ в точке $t_0$ и функции $f$ в точке $\mathbf{x}_0 = \gamma(t_0)$. Поэтому мне не очень понятно зачем требовать от $f$ дифференцируемость всюду на области определения $X$.

[Brukvalub]

Так это и есть ответ.

[vpb]

На всём множестве может и не нужно, а вот в окрестности (тут коллега не приметил) непременно . А иначе множество уровня может не быть в окрестности точки гладкой гиперповерхностью, и какая уж там перпендикулярность ... Ну разве что в каком-то обобщенном смысле. И даже, пожалуй, в окрестности нужна не просто дифференцируемость, а $C^1$.

[give_up]

vpb в сообщении #1558335 писал(а):

И даже, пожалуй, в окрестности нужна не просто дифференцируемость, а $C^1$.

Действительно, сейчас подумал и пришел к выводу, что $C^1$ кривая $\gamma(t)$ гарантированно существует лишь тогда, когда для точки $\mathbf{x}_0$ можно выписать теорему о неявной функции. А это, в свою очередь, требует того, чтобы $f(\mathbf{x})$ была непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки $\mathbf{x}_0$.
Есть подробное описание необходимости применения теоремы о неявной функции здесь.

[svv]

give_up в сообщении #1558303 писал(а):

Вопрос в том, можно ли ослабить требование дифференцируемости функции $f$ на множестве $X$ таким образом, чтобы утверждение теоремы осталось тем же? То есть можно ли в условии теоремы заменить фразу "дифференцируема на множестве $X$" на что-то из следующего списка:
1. дифференцируема на множестве $\{\mathbf{x} \in X: ~ f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0)\} \subset \mathbb{R}^n$
2. дифференцируема в точке $\mathbf{x}_0 \in X$
3. дифференцируема на каком-то другом подмножестве области определения $X$ ?

Ну, если Вам это очень-очень надо, то так и быть. Предполагаем дифференцируемость $f$ в точке $\mathbf x_0$. Открываем Зорича (том 1, стр.438):

Цитата:

... если $f$ — дифференцируемая в точке $x_0$ функция, то для любых векторов $v_1,v_2\in T\mathbb R^m_{x_0}$ и любых $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R$ функция имеет в точке $x_0$ производную по вектору $(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2)\in T\mathbb R^m_{x_0}$ и при этом

$$D_{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2}f(x_0)=\lambda_1D_{v_1}f(x_0)+\lambda_2D_{v_2}f(x_0)\eqno{(14)}$$

Ниже все производные берутся в точке $\mathbf x_0$, а все векторы принадлежат пространству $T\mathbb R^m_{\mathbf x_0}$ (объяснение обозначения на стр.427), т.е. также относятся к точке $\mathbf x_0$.

Введём ортонормированный базис $(\mathbf e_i)$. Назовём вектор
$\nabla f=\sum\limits_i\mathbf e_i D_{\mathbf e_i}f$
градиентом функции $f$ в точке $\mathbf x_0$. Можно показать, что определение корректно, т.е. градиент не зависит от выбора ортонормированного базиса. Кроме того,
$D_{\mathbf v}f=\sum\limits_i v_iD_{\mathbf e_i}f=\sum\limits_i(\mathbf e_i,\mathbf v)D_{\mathbf e_i}f=(\nabla f, \mathbf v)$

Нам надо показать, что $\nabla f$ перпендикулярен множеству уровня $f$ в $\mathbf x_0$. Это значит, что $\nabla f$ ортогонален любому вектору $\mathbf v\in T\mathbb R^m_{\mathbf x_0}$, касательному к множеству уровня. Проблема в том, что это понятие (или понятие касательной гиперплоскости, как множества всех таких векторов) ещё не определено. В доказательстве из stackexchange касательная гиперплоскость определяется так:

Цитата:

The set of all vectors $\gamma'(0)$ for all possible curves $\gamma$ forms the tangent hyperplane to $L(c)$ at $x_0$

Мы же определим иначе: вектор $\mathbf v\in T\mathbb R^m_{\mathbf x_0}$ называется касательным к множеству уровня функции $f$ в точке $\mathbf x_0$, если $D_\mathbf v f(\mathbf x_0)=0$.
Тогда и $(\nabla f, \mathbf v)=D_{\mathbf v}f=0$.

[give_up]

svv, интересный подход, спасибо. Получается что ответ на мой вопрос зависит от того, как именно определить касательную гиперплоскость.