Основные свойства интеграла Римана

[EminentVictorians]

Зорич, стр 396 писал(а):

Утверждение 4.Если $f, g \in R[a,b]$ то,
a) $(f + g) \in R[a,b]$;
b) $\alpha f \in R[a,b]$, где $\alpha$ - числовой множитель;
c) $|f| \in R[a,b]$;
d)$f|_{[c,d]} \in R[a,b]$, если $[c, d] \subset [a, b]$;
e) $(f \cdot g) \in R[a,b]$

Возьмем, например, пункты а) и b). В них говорится, что сумма двух интегрируемых по Риману функций интегрируема по Риману и произведение интегрируемой по Риману на число интегрируема по Риману. А вот линейность интеграла, т.е свойство

$$\int\limits_{a}^{b}\alpha f + \beta g = \alpha \int\limits_{a}^{b}f + \beta \int\limits_{a}^{b}g$$

доказывается у Зорича лишь в следующем параграфе. Причем доказательство довольно специфично именно для интеграла Римана.

Но ведь можно прозрачнее. Интеграл Римана - это просто предел специальной функции (интегральной суммы) по специальной базе (базе размеченных разбиений при стремлении параметра разбиения к нулю). Сумме $f + g$ (подынтегральных функций) будет соответствовать сумма $F + G$ соответствующих интегральных сумм. Поэтому, например, пункты a) и b) из цитаты, а так же линейность можно доказать за один прием и короче, просто пользуясь тем, что предел по базе линеен.

Вот только я не очень знаю, при каких условиях соблюдается вот этот факт, что предел линеен. У нас обе функции (интегральные суммы) принимают значения в $\mathbb R$, но $\mathbb C$ здесь тоже подойдет. Я хочу узнать, какие условия на область значений здесь могут быть самые общие.

И нету ли подводных камней, когда речь заходит о пределах по базам. Может быть для выполнения этого свойства (что предел линеен) нужна какая-нибудь сепарабельность или еще что-нибудь неочевидное. Навскидку вроде бы ничего не требуется, но вдруг.

-- 20.06.2022, 21:30 --

И кстати свойства c) и e) тоже вроде как выполняются для любых функций по любым базам (со значениями в $\mathbb R$ и $\mathbb C$ как минимум).

И еще хотелось бы посмотреть какую-нибудь книгу, где эти свойства (типа линейности предела по базе) сформулированы прямо. А то вроде базовая вещь должна быть, а нигде не нашел.

[EminentVictorians]

EminentVictorians в сообщении #1558020 писал(а):

И кстати свойства c) и e) тоже вроде как выполняются для любых функций по любым базам (со значениями в $\mathbb R$ и $\mathbb C$ как минимум).

Здесь я поторопился. Свойство e) точно придется доказывать отдельно, т.к. в случае произведения $fg$ подынтегральных функций их интегральная сумма $H \ne F \cdot G$ не равна произведению интегральных сумм от функций $f$ и $g$.

[Slav-27]

EminentVictorians в сообщении #1558020 писал(а):

Но ведь можно прозрачнее. Интеграл Римана - это просто предел специальной функции (интегральной суммы) по специальной базе (базе размеченных разбиений при стремлении параметра разбиения к нулю). Сумме $f + g$ (подынтегральных функций) будет соответствовать сумма $F + G$ соответствующих интегральных сумм. Поэтому, например, пункты a) и b) из цитаты, а так же линейность можно доказать за один прием и короче,

Там это и написано, то есть ваша претензия -- что оно в следующем параграфе; да, наверно, лучше бы было в этом же.

EminentVictorians в сообщении #1558020 писал(а):

Вот только я не очень знаю, при каких условиях соблюдается вот этот факт, что предел линеен. У нас обе функции (интегральные суммы) принимают значения в $\mathbb R$, но $\mathbb C$ здесь тоже подойдет. Я хочу узнать, какие условия на область значений здесь могут быть самые общие.

Надо, чтобы сложение и умножение на вещественные числа там были непрерывны (называется "топологическое векторное пространство").

[EminentVictorians]

А вот это свойство

EminentVictorians в сообщении #1558020 писал(а):

$|f| \in R[a,b]$;

тоже ведь обобщается, если вместо модуля иметь в виду норму?

[Slav-27]

Да, тоже обобщается.

[EminentVictorians]

Еще заметил, что доказательство пункта

EminentVictorians в сообщении #1558020 писал(а):

d)$f|_{[c,d]} \in R[a,b]$, если $[c, d] \subset [a, b]$;

у Зорича занимает целую страницу. Хотя по-идее здесь самое то использовать критерий Лебега: точки разрыва функции-сужения являются подмножеством точек разрыва основной функции, а значит образуют множество меры 0, а значит функция-сужение интегрируема по Риману.

Вообще, мне не очень понятно это избегание критерия Лебега у Зорича. На данный момент уже есть как минимум 3 теоремы, доказательства которых (из учебника) можно пропустить:
1)интегрируемость функции с конечным числом точек разрыва
2)интегрируемость монотонной функции
3)и вот еще и интегрируемость функции-сужения добавилось

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1558101 писал(а):

Вообще, мне не очень понятно это избегание критерия Лебега у Зорича.

Сложная теорема по тому что. Если рассматривать её в курсе мат.анализа без соответствующего построения теория меры и интеграла Лебега.

-- Вт июн 21, 2022 18:11:23 --

EminentVictorians в сообщении #1558020 писал(а):

И нету ли подводных камней, когда речь заходит о пределах по базам. Может быть для выполнения этого свойства (что предел линеен) нужна какая-нибудь сепарабельность или еще что-нибудь неочевидное. Навскидку вроде бы ничего не требуется, но вдруг.

Полнота области значений нужна, вроде бы. На ней критерий Коши основывается. Не конкретно для линейности предела по базе, а для корректного построения интеграла от векторно-значных функций.

[EminentVictorians]

Сразу не заметил, что свойство

EminentVictorians в сообщении #1558020 писал(а):

e) $(f \cdot g) \in R[a,b]$

тоже из критерия Лебега вытекает. Точки разрыва функций $f$ и $g$ образуют множества меры ноль, а множество разрывов произведения $fg$ будет подмножеством этого множества-объединения меры ноль, а значит и само имеет меру ноль. Следовательно $fg$ интегрируемо. Критерий Лебега - кайф!

[Otta]

Дело за малым: доказать критерий Лебега.