2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Значения многочлена $$G(x)=9x^{14}-50x^{12}+147x^{10}-189x^8+185x^6-114x^4+36x^2+1$$ при подстановке целых $x<25$ оказываются представимы формой $p^2+q^2=G(x).$ Верно ли это для любых $x$ — не знаю, поскольку ни факторизовать многочлен, ни решить соотв. уравнение не удается. Известно только, что $G(x) \equiv 1 \mod 4.$ Всё это касается и многочлена $$H(x)=x^{14}+36x^{12}-114x^{10}+185x^8-189x^6+147x^4-50x^2+9,$$ образованного из $G(x)$ подстановкой $x \to \dfrac{1}{x}$ с последующим домножением на $x^{14}.$ Или наоборот, это как угодно. Первый раз сталкиваюсь с подобной ситуацией. Вопрос вырос из задачи о кубоиде, с которой связан непосредственно: если находится рациональное $\left| x \right| \neq  0,1$ такое, что $G(x)H(x)=\square,$ получаем частное $1$-параметрическое решение кубоида. Но об этом не спрашиваю. Хотя, не исключено что одно с другим связано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 20:00 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Andrey A в сообщении #1557771 писал(а):
Верно ли это для любых $x$ — не знаю
Это похоже на правду. Во всяком случае, многочлен $G(x)$ не имеет маленьких (меньших миллиона) простых делителей $p \equiv 3 \pmod{4}$.

Попробуйте представить многочлен $G(x)$ в виде суммы квадратов двух многочленов $P(x)^2+Q(x)^2$ методом неопределенных коэффициентов (которые считайте целыми). Вдруг повезет и такое представление легко отыщется.

-- Сб июн 18, 2022 00:04:52 --

Andrey A в сообщении #1557771 писал(а):
Вопрос вырос из задачи о кубоиде
А, тогда, скорее всего, не повезет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 20:48 


05/09/16
11469
Andrey A в сообщении #1557771 писал(а):
поскольку ни факторизовать многочлен,

Факторизовать не получится, т.к. например $G(25)=332309884841264085001$ простое число :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
wrest в сообщении #1557781 писал(а):
простое число :)
Да. И это не единственный пример, хотя достаточно одного.
nnosipov в сообщении #1557775 писал(а):
... представить многочлен $G(x)$ в виде суммы квадратов двух многочленов $P(x)^2+Q(x)^2$
Тогда можно было бы сделать замену $x \to \sqrt{x}$ и получить суммы квадратов двух многочленов $P(x)+Q(x)$ для $G()$ со вдвое меньшими степенями. Но даже если брать неквадратные аргументы $=0,1 \mod 4$, сразу всё нарушается — появляются произведения простых $=3 \mod 4$ и т.д. Чудеса.
PS Нет, не понял Вас (квадраты далеко улезли)). Всё так. Но решить уравнение $G(x)=p^2+q^2$ не удается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 22:35 


21/04/22
330
Есть одна идея. Не знаю, сработает ли она. Зависит от того, возможно ли решить некоторую систему из 7 линейных уравнений с 7 неизвестными.

Предположим, что для некоторых целых $x_i$, где $i \in [0,6]$ мы знаем представление в виде суммы квадратов. То есть, $G(x_i) = p_i^2+q_i^2$. Будем искать представление $G(x)$ в виде суммы квадратов двух других многочленов.

Пусть $G(x) = P(x)^2 + Q(x)^2$, где $P(x) = \sum_{j=0}^6 y_jx^j$, $Q(x) = \sum_{j=0}^6 z_jx^j$.

Тогда коэффициенты многочлена $P(x)$ можно найти, решив систему из семи уравнений
$$p_i = P(x_i) = \sum_{j=0}^6y_jx_i^j$$. Аналогично находятся коэффициенты $Q(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение17.06.2022, 23:05 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Интересно, бывает ли многочлен с целыми коэффициентами, у которого все значения -- суммы квадратов двух целых чисел, но сам он не сумма квадратов двух многочленов?

Если у многочлена с целыми коэффициентами все значения -- квадраты целых чисел, то и сам он квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение18.06.2022, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
$G(0)=1^2+0^2.$
$G(1)=5^2+0^2=4^2+3^2.$
$G(2)=231^2+40^2=220^2+81^2=185^2+144^2=175^2+156^2.$
$G(3)=4860^2+649^2=4599^2+1700^2$
$G(4)=41377^2+2736^2=40488^2+8959^2=31460^2+27015^2.$
$G(5)=209615^2+12276^2=207345^2+33124^2 $=177999^2+111380^2=166001^2+128580^2.$
$G(6)=775855^2+55380^2=771732^2+297199^2 $=713647^2+309396^2=675705^2+385280^2$
mathematician123
Это на всякий случай, если Вы возьметесь составить систему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение18.06.2022, 03:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Все оказалось гораздо проще: этот $G(x)$ факторизуется над $\mathbb{Q}(i)$ (собственно, это и есть критерий представимости в виде суммы квадратов двух многочленов). Отсюда находим $G(x)=P(x)^2+Q(x)^2$, где $P(x)=3x^7-9x^5+9x^3-6x$, $Q(x)=2x^6+3x^4-1$.

-- Сб июн 18, 2022 07:58:56 --

Slav-27 в сообщении #1557795 писал(а):
Интересно, бывает ли многочлен с целыми коэффициентами, у которого все значения -- суммы квадратов двух целых чисел, но сам он не сумма квадратов двух многочленов?
Тоже задумался. Надо поискать, возможно, ответ уже известен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение18.06.2022, 08:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
nnosipov
Спасибо большое, просто и красиво — как раз то что нужно. Эх, хорошо бы самому сообразить, но вот, чуть повыше степени — и не знаешь с какого края зайти. Они ведь еще и факторизуются: $$G(x)=\left ( 3x(x^2-2)(x^4-x^2+1) \right )^2+\left ( (2x^2-1)(x^2+1)^2 \right )^2$$ $$H(x)=\left ( 3(2x^2-1)(x^4-x^2+1) \right )^2+\left ( x(x^2-2)(x^2+1)^2 \right )^2$$ Причем произведение всех скобок в том и другом случае одинаково. Получаем задачу вида $\left ( (AC)^2+(BD)^2 \right )\left ( (AD)^2+(BC)^2 \right )=\square.$ Вполне гуманный вопрос, да и было уже что-то похожее. Но не буду здесь углубляться, еще раз спасибо! На самом деле я на Вольфрам понадеялся, он ведь факторизует по умолчанию над $\mathbb{Q}(i)$, а тут не стал ) Нужен, видимо, какой-то специальный запрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение18.06.2022, 08:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Andrey A в сообщении #1557813 писал(а):
он ведь факторизует по умолчанию над $\mathbb{Q}(i)$
Вообще-то, по умолчанию они (системы компьютерной алгебры) факторизуют над $\mathbb{Q}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение18.06.2022, 08:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Это да, но зависит от контекста https://www.wolframalpha.com/input?i=Factor+a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%2Bd%5E2%2B2*a*b%2B2*c*d

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение21.06.2022, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
В. В. Прасолов, “Суммы квадратов многочленов” Матем. обр.,1999.

PS Тема в пр/р просится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение19.08.2022, 15:28 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
nnosipov в сообщении #1557808 писал(а):
Надо поискать, возможно, ответ уже известен.
Да, у Прасолова в "Многочленах" нашелся: на стр. 311 (изд. 2014 года) дана ссылка на статью Davenport H., Lewis D. J., Schinzel A., Polynomials of certain special types, Acta Arithm. 9 (1964), 108-116.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многочлен. Всегда ли он сумма двух квадратов?
Сообщение20.08.2022, 00:04 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
nnosipov, здорово, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group