Определение декартового произведения

[jwumu]

Здравствуйте. В учебнике Зорича по математическому анализу столкнулся с такой формулировкой понятия декартового произведения.
$X \times Y := \left\lbrace p \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y)) \mid p = (x, y) \wedge (x \in X) \wedge (y \in Y)\right\rbrace $
Где $\mathcal{P}$ выделяет множество всех подмножеств.
То есть декартово произведение — это множество, состоящее из элементов p, принадлежащих множеству подмножеств множества пересечения множества подмножеств множества X и множества подмножеств множества Y. Но тогда в этом множестве будут одноэлементные множества. Приведу пример.
$X= \left\lbrace a,b,c\right\rbrace$
$Y=\left\lbrace e,f,g\right\rbrace$
$\mathcal{P}(X) = \left\lbrace \left\lbrace a\right\rbrace,\left\lbrace b\right\rbrace,\left\lbrace c\right\rbrace,\left\lbrace a,b\right\rbrace,\left\lbrace a,c\right\rbrace,\left\lbrace a,b,c\right\rbrace\right\rbrace$
$\mathcal{P}(Y) = \left\lbrace \left\lbrace e\right\rbrace,\left\lbrace f\right\rbrace,\left\lbrace g\right\rbrace,\left\lbrace e,f\right\rbrace,\left\lbrace e,g\right\rbrace,\left\lbrace e,f,g\right\rbrace \right\rbrace$
$\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y) =\left\lbrace \left\lbrace a\right\rbrace,\left\lbrace b\right\rbrace,\left\lbrace c\right\rbrace,\left\lbrace a,b\right\rbrace,\left\lbrace a,c\right\rbrace,\left\lbrace a,b,c\right\rbrace, \left\lbrace e\right\rbrace,\left\lbrace f\right\rbrace,\left\lbrace g\right\rbrace,\left\lbrace e,f\right\rbrace,\left\lbrace e,g\right\rbrace,\left\lbrace e,f,g\right\rbrace\right\rbrace$
$\mathcal{P}(\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y))$ состоит из всех вышеперечисленных множеств и различных комбинаций между ними. Т.е. в нём гарантированно есть одноэлементные множества $\left\lbrace a\right\rbrace$ и $\left\lbrace e\right\rbrace$. Но ведь тогда $p=(x,y)=a$, чего быть не может.
Если я не прав и у нас не окажется в множестве, которому принадлежит p, одноэлементных множеств, то почему? А если окажутся, то почему упорядоченная пара равняется одному элементу? Или я вообще не правильно рассуждаю?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- частично неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- зачем нужен скриншот? наберите то, что от него требуется (если это имеется) в виде текста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

Вообще неправильно. Мы взяли все подмножества, и оставили из них те, которые являются упорядоченными парами нужного вида.

[svv]

По-моему, у Зорича в конструкции $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y))$ есть дефект, из-за которого определение не работает.
Пусть $X=\{a\}, Y=\{b\}$. Попробуем получить упорядоченную пару $(a,b)$:
$\mathcal{P}(X)=\{\varnothing,\{a\}\}$
$\mathcal{P}(Y)=\{\varnothing,\{b\}\}$
$\mathcal{P}(X)\cup\mathcal{P}(Y)=\{\varnothing,\{a\},\{b\}\}$
$\mathcal{P}(\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y))=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{a\}\},\{\{b\}\},\{\varnothing,\{a\}\},\{\varnothing,\{b\}\},\{\{a\},\{b\}\},\{\varnothing,\{a\},\{b\}\}\}$
Если Зорич строит упорядоченную пару по Куратовскому, среди элементов $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X) \cup \mathcal{P}(Y))$ должен быть
$\{\{a\},\{a,b\}\}$
Но его там нет.

А вот в английской Википедии правильная конструкция $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X\cup Y))$:
$X\cup Y=\{a,b\}$
$\mathcal{P}(X\cup Y)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$
Очевидно, $\{\{a\},\{a,b\}\}$ будет одним из подмножеств $\mathcal{P}(X\cup Y)$, то есть элементом $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X\cup Y))$.

[vpb]

Я, пока не стал читать наш форум, даже и не знал про "правильное" определение упорядоченной пары, как $\{\{x\}, \{x,y\}\}$. И ничего, очень хорошо математикой занимался. А всякие такие формализмы имеют значение только для вопросов оснований математики.

Совет для ТС: да не морочьте вы себе голову содержанием первых двух глав Зорича. Так, примерно почитайте, и переходите к третьей. А вдобавок можно Фихтенгольца почитать, самое разлюбезное дело !

[eugensk]

vpb в сообщении #1557440 писал(а):

Я, пока не стал читать наш форум, даже и не знал про "правильное" определение упорядоченной пары, как $\{\{x\}, \{x,y\}\}$. И ничего, очень хорошо математикой занимался.

Как и Ньютон с Лейбницем, очень хорошо математикой занимались. Но только представьте, как они были бы рады первым двум главам из Зорича :)

[vpb]

eugensk в сообщении #1557444 писал(а):

Как и Ньютон с Лейбницем, очень хорошо математикой занимались

Сравнение с такими гигантами для меня, конечно, лестно, но не показательно, так как дело было очень давно и математика тогда была другая. А вот среди тех современных работающих математиков, с кем я общался или чьи работы читал, какой-то повышенный интерес к формализму отсутствует напрочь, от слова совсем.

[Someone]

jwumu в сообщении #1557339 писал(а):

$\mathcal{P}(X) = \left\lbrace \left\lbrace a\right\rbrace,\left\lbrace b\right\rbrace,\left\lbrace c\right\rbrace,\left\lbrace a,b\right\rbrace,\left\lbrace a,c\right\rbrace,\left\lbrace a,b,c\right\rbrace\right\rbrace$
$\mathcal{P}(Y) = \left\lbrace \left\lbrace e\right\rbrace,\left\lbrace f\right\rbrace,\left\lbrace g\right\rbrace,\left\lbrace e,f\right\rbrace,\left\lbrace e,g\right\rbrace,\left\lbrace e,f,g\right\rbrace \right\rbrace$

Это неверно. Если множество $X$ имеет $n$ элементов, то множество $\mathcal P(X)$ имеет $2^n$ элементов. У Вас множества $X$ и $Y$ имеют по $3$ элемента, поэтому $\mathcal P(X)$ и $\mathcal P(Y)$ имеют по $2^3=8$ элементов (я "по умолчанию" предполагаю, $a\ne b\ne c\ne a$ и $e\ne f\ne g\ne e$). У Вас же перечислены только по $6$.

jwumu в сообщении #1557339 писал(а):

множества пересечения множества подмножеств множества X и множества подмножеств множества Y.

Объединения, а не "множества пересечения".

jwumu в сообщении #1557339 писал(а):

в нём гарантированно есть одноэлементные множества $\left\lbrace a\right\rbrace$ и $\left\lbrace e\right\rbrace$. Но ведь тогда $p=(x,y)=a$, чего быть не может.
Если я не прав и у нас не окажется в множестве, которому принадлежит p, одноэлементных множеств, то почему? А если окажутся, то почему упорядоченная пара равняется одному элементу? Или я вообще не правильно рассуждаю?

Я вообще не понял этого рассуждения. Разумеется, если $X\ne\varnothing$, то среди подмножеств множества $X$ есть одноэлементные. Ну и что?

И, кстати, если уж пользоваться конструкцией Куратовского, то $\langle a,a\rangle=\{\{a\},\{a,a\}\}=\{\{a\}\}$ действительно является одноэлементным множеством.

svv в сообщении #1557432 писал(а):

по Куратовскому

(Это не "поучение" Вам, а продолжение ваших пояснений.) Основное свойство упорядоченной пары, ради которого она вводится, выражается формулой

$$(\langle a,b\rangle=\langle c,d\rangle)\Leftrightarrow((a=c)\wedge(b=d)).$$

Конструкция Куратовского просто демонстрирует, что упорядоченную пару можно смоделировать с помощью множеств, и потому её не требуется вводить как дополнительное понятие, независимое от понятия множества. После этого о конструкции Куратовского можно благополучно "забыть", поскольку какой-либо другой "пользы" от неё не видно. Возможны и другие конструкции, и нам, в общем-то, безразлично, что там у упорядоченной пары "внутри".

[Walker_XXI]

Someone в сообщении #1557475 писал(а):

Я вообще не понял этого рассуждения. Разумеется, если $X\ne\varnothing$, то среди подмножеств множества $X$ есть одноэлементные. Ну и что?

Я тоже не понял логики рассуждения

jwumu в сообщении #1557339 писал(а):

Но ведь тогда $p=(x,y)=a$

Может TC просто упустил из виду смысл вертикальной черты в определении, что она выделяет из множества всех подмножеств, указанного слева от неё, только определённые упорядоченные пары? Или я совсем ничего не понял в вопросе :)

[novichok2018]

vpb - всячески поддерживаю! Не надо забивать себе голову абстрактной нечистью, особенно при первоначальном изучении математики. Это не касается тех, кто выбрал абстрактные области для работы, но речь не про них. А учить этому студентов младших курсов - это просто преступление.

[vpb]

novichok2018 в сообщении #1557764 писал(а):

А учить этому студентов младших курсов - это просто преступление.

Эээ... на самом деле студентов младших курсов тому, о чем спрашивает ТС, и не учат (и слава богу !) . "Правильное" определение упорядоченной пары --- оно в конце первой главы Зорича, мелким шрифтом, вместе с другими забобонами из аксиоматической теории множеств (во всяком случае, начиная со второго издания; первого я в интернете не нашел). А в основном тексте главы --- обычное, мол, "упорядоченная пара --- это два элемента, из которых один считается первым, а другой вторым". Товарищ, наверное, сам решил Зорича прогрызть от корки до корки. Да Зорич и сам пишет в предисловии, мол, на первых двух главах не надо шибко застревать, они для полноты картины, а то до матана читатель так и не доберется... . Там даже в основном тексте (нормальным шрифтом, не мелким) много формальных излишеств. Впрочем, ТСу это уже, кажется, всё равно; он, похоже, из темы свалил.

[eugensk]

Ну не знаю, в техническом ВУЗе конечно, на физике может быть.
Но на матфаке в самом начале рассказать про множества, и их свойства, по-моему, логично. С аксиомами на интуитивном уровне, без исчисления предикатов. Тогда доказать, что такая-то модель пары ("по-куратовскому", "правильная", или еще какая-то) обладает свойством пары, будет хорошим упражнением для математиков.

Если же просто сказать, что упорядоченная пара есть $\{\{x\}, \{x,y\}\}$, и ничего больше с этим не делать, тогда конечно, лучше было не говорить.

Цитата:

Вектор не укладывается в идеологию теории множеств; он может быть изложен только как преобразователь. Это не фигура, а черт знает что, и он может быть понят только как направление в пространстве.
...
Таково положение с книгами. Если их читают ученики. то ничего кроме отвращения, в частности, у людей, способных к математике, они вызвать не могут, а люди, которые неспособны к математике, из них просто ничего не узнают.
...
Поэтому это Отделение, представляющее авторитетнейшую группу математиков Советского Союза, должно сказать, что то, что происходит, недопустимо!
(Аплодисменты)