Уравнение 9-й степени с параметрами

[Rak so dna]

Для $p\geqslant 6$ и $k \geqslant 0$ найти действительный корень уравнения

$x^5(x^2+9)^2+p(3x^6+9x^4+p^2)+kx^3=9p^2x$

[Rak so dna]

Для любых $p$ найти действительный корень уравнения

$x^9+9x^7+27x^5+30x^3+9x=p$

[Shadow]

Rak so dna в сообщении #1554132 писал(а):

Для любых $p$ найти действительный корень уравнения

$x^9+9x^7+27x^5+30x^3+9x=p$

Имеем уравнение $(x^3+3x)^3+3(x^3+3x)=p$

Можно положить
$x^3+3x=y$
Получим
$y^3+3y=p$

Последнее уравнение решается в радикалах

$y=f(p)=\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{p^2+4}+p}{2}}-\sqrt[3]{\dfrac{2}{\sqrt{p^2+4}+p}}$

А значит, решением будет $x=f(f(p))$

(с упрощением у меня сложности)

[Dendr]

Во втором практически стандартно

$$x=t-\frac{1}{t}$$

Тогда уравнени упрощается до "квадратного"

$$t^9-\frac{1}{t^9}=p$$

Ну и дальше неинтересно.

[Rak so dna]

Shadow, Dendr всё верно.

Shadow в сообщении #1554134 писал(а):

(с упрощением у меня сложности)

Если $f_n(p)=\sqrt[n]{\dfrac{\sqrt{p^2+4}+p}{2}}-\sqrt[n]{\dfrac{2}{\sqrt{p^2+4}+p}}$ то $f_n(f_n(p))=f_{n^2}(p)$ и вообще $f_n(f_m(p))=f_{n\cdot m}(p)$

А вообще странно, что некоторые CAS не в состоянии решить подобные уравнения, например Wolfram не решает аналогичное $x^7+7x^5+14x^3+7x = 1$

[Rak so dna]

Решить уравнения:

$x^5(x^2+9)^2+p(3x^6+9x^4+p^2)+kx^3=9p^2x$

$x^5(x^2-9)^2+p(3x^6-9x^4+p^2)+kx^3=-9p^2x$

Оказывается все корни (включая комплексные) выражаются в радикалах. При $k\geqslant 108-\frac{15}{4}p^2$ первое уравнение имеет красивый корень, при $k\geqslant 3p(p+18sign(p))$ - второе. Хоть уравнения и похожи, второе - труднее.

[maxal]

Rak so dna в сообщении #1554143 писал(а):

Если $f_n(p)=\sqrt[n]{\dfrac{\sqrt{p^2+4}+p}{2}}-\sqrt[n]{\dfrac{2}{\sqrt{p^2+4}+p}}$ то $f_n(f_n(p))=f_{n^2}(p)$ и вообще $f_n(f_m(p))=f_{n\cdot m}(p)$

Это свойство многочленов Чебышева, и в данном случае $f_n(p)=2T_n(p/2)$.

[Rak so dna]

maxal в сообщении #1554987 писал(а):

Это свойство многочленов Чебышева, и в данном случае $f_n(p)=2T_n(p/2)$.

Немного не так, но близко:

$f_n(p)=\left(\frac{\sqrt{p^2+4}+p}{2}\right)^{1/n}-\left(\frac{2}{\sqrt{p^2+4}+p}\right)^{1/n}$

$2T_n(p/2)=\left(\frac{\sqrt{p^2-4}+p}{2}\right)^n+\left(\frac{2}{\sqrt{p^2-4}+p}\right)^n$

[Andrey A]

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #1554134 писал(а):

$y=f(p)=\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt{p^2+4}+p}{2}}-\sqrt[3]{\dfrac{2}{\sqrt{p^2+4}+p}}$

Использование радикалов привычно, удобно, и как-то забывается, что сами по себе они всего лишь корни некоторых простейших уравнений. Для рациональной аппроксимации нет качественного различия между разложением радикала и корня уравнения из девяти слагаемых. Если же рассматривать аналитические соотношения между корнями уравнений (не только радикалов), тут целая наука выходит, в которой достижение Абеля — просто одна из теорем.

Shadow в сообщении #1554134 писал(а):

Можно положить
$x^3+3x=y$
Получим
$y^3+3y=p$

В принципе то и есть, но объяснять приходится на словах. Не хватает знака "расширенного радикала" со свободным членом под радикалом и коэффициентами на крыше )

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1554258 писал(а):

Решить уравнения:

$x^5(x^2+9)^2+p(3x^6+9x^4+p^2)+kx^3=9p^2x$

$x^5(x^2-9)^2+p(3x^6-9x^4+p^2)+kx^3=-9p^2x$

Изначально предполагалась следующая идея:
Пусть $x=\sqrt[3]{\alpha_1}+\sqrt[3]{\alpha_2}+\sqrt[3]{\alpha_3}+\sqrt[3]{\alpha_4}$, где $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ – корни некоторого уравнения 4-й степени. Ну и т.д...

Позже выяснилось, что эти два уравнения можно обобщить и факторизовать:

$x^5(x^2+9s)^2+p(3x^6+9sx^4+p^2)+kx^3-9p^2sx=$

$\left(abx+(b+a)(s-ab)\right)\cdot$
$\left(a^2b^2x^2-ab(b+a)(s-ab)x+(b^2-ab+a^2)(s-ab)^2\right)\cdot$
$\left(a^2b^2x^2-ab(b+a)(s-ab)x+(b+a)^2(s^2+abs+a^2b^2)\right)\cdot$
$\left(a^2b^2x^2-ab(bs-2as+2ab^2-a^2b)x+(b^2-ab+a^2)(s^2+abs+a^2b^2)\right)\cdot$
$\left(a^2b^2x^2+ab(2bs-as+ab^2-2a^2b)x+(b^2-ab+a^2)(s^2+abs+a^2b^2)\right)$
где

$k=54s^3-27q+3p^2$

$p=\frac{(b^3+a^3)(s^3-a^3b^3)}{a^3b^3}$

$q=\frac{s^6-(a^3+b^3)^2s^3+a^6b^6}{a^3b^3}$

Отсюда $b$ можно найти как корень $b^{12}+pb^9+qb^6-ps^3b^3+s^6 = 0$,

и затем $a$ как корень $b^3a^6+(-s^3+b^3p+b^6)a^3-b^3s^3=0$.

Т.о. все корни выражаются в радикалах.