макс. число простых в интервале заданной длины

[ddn]

Рассмотрим интервалы натуральных чисел длины $a\geqslant 1$:
$[n+1,n+a]_{\mathbb{Z}}$ для любых натуральных $n\geqslant a$.
Определим $\mathcal{P}(a)=\max\limits_{n\in\mathbb{Z},n\geqslant a}(\pi(n+a)-\pi(n))$

Очевидные предположения:
1) для любого $a$ есть бесконечно много $n$ таких, что $\mathcal{P}(a)=\pi(n+a)-\pi(n)$;
2) $\mathcal{P}(a)=\max\limits_{\phi\in([2,a]_{\mathbb{P}}\to [0,a-1]_{\mathbb{Z}})}\left|\{m|m\in[1,a]_{\mathbb{Z}},\forall p\in [2,a]_{\mathbb{P}}(\phi(p)+m\mod p>0)\}\right|$.

Из последнего предположения следует, в частности:
$\mathcal{P}(1)=\mathcal{P}(2)=1$
$\mathcal{P}(3)=...=\mathcal{P}(6)=2$
$\mathcal{P}(7)=\mathcal{P}(8)=3$
$\mathcal{P}(9)=...=\mathcal{P}(12)=4$
$\mathcal{P}(13)=...=\mathcal{P}(18)=5$
$\mathcal{P}(19)=\mathcal{P}(20)=6$
$\mathcal{P}(21)=...=\mathcal{P}(24)=7$
$\mathcal{P}(25)=...=\mathcal{P}(30)=8$
...
В значениях не очень уверен.

Есть ли точная или, хотя бы, асимптотическая формула для $\mathcal{P}(a)$?

[maxal]

см. статью Prime Constellation, а также последовательности A008407 и A023193.

$$\mathcal{P}(a) = \text{A023193}(a) = \min \{ k : \text{A008407}(k)\geq a \}$$

[ddn]

maxal писал(а):

а также последовательности A008407 и A023193.

Угу... узрел.

maxal писал(а):

см. статью Prime Constellation

Энто не совсем та весчь.
Эту статью я, кстати, знаю. Там даны плотности различных комплексов простых. Меня же плотность не интересует (лишь бы их бесконечно), а интересуют наиболее короткие комплексы из данного числа $k$ простых:
последовательность $\text{A008407}(k-1)+1$.

Асимптотику бы узнать. Верхние и нижние точные оценки.

Добавлено спустя 21 минуту 1 секунду:

похоже что $\text{A008407}(k-1)+1\sim k\ln(k+1)$.

[maxal]

Вот еще статья Эрдёша на ту же тему:
Density functions for prime and relatively prime numbers.

Также имеет смысл взглянуть в книге Unsolved Problems in Number Theory на раздел A9. Patterns of primes (поиском по внутренностям книги на гугл букз).