Рассмотрим интервалы натуральных чисел длины

:
![$[n+1,n+a]_{\mathbb{Z}}$ $[n+1,n+a]_{\mathbb{Z}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/7/757edf400b012ae43f8a32ffe17b7dfa82.png)
для любых натуральных

.
Определим
Очевидные предположения:
1) для любого

есть бесконечно много

таких, что

;
2)
![$\mathcal{P}(a)=\max\limits_{\phi\in([2,a]_{\mathbb{P}}\to [0,a-1]_{\mathbb{Z}})}\left|\{m|m\in[1,a]_{\mathbb{Z}},\forall p\in [2,a]_{\mathbb{P}}(\phi(p)+m\mod p>0)\}\right|$ $\mathcal{P}(a)=\max\limits_{\phi\in([2,a]_{\mathbb{P}}\to [0,a-1]_{\mathbb{Z}})}\left|\{m|m\in[1,a]_{\mathbb{Z}},\forall p\in [2,a]_{\mathbb{P}}(\phi(p)+m\mod p>0)\}\right|$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/f/f0f4440bfeff534cfdcb157bfba6c6d482.png)
.
Из последнего предположения следует, в частности:
...
В значениях не очень уверен.
Есть ли точная или, хотя бы, асимптотическая формула для

?