Вопрос про матрицы конечного порядка.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.
Когда формулировка появится, не забудьте приложить к ней попытки решения.

К правке доступно ваше последнее сообщение.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[nnosipov]

Maxim19 в сообщении #1556673 писал(а):

Определитель матрицы $B$ равен нулю, ведь сама матрица $A$ имеет значение определителя, равное 1. А так как матрица в определителе равна произведению себя на матрицу $A$, то и определитель остаётся неизменным, что возможно только при равном нулю.

Имеем равенство $AB=B$. Переходим к определителям: $\det{A} \cdot \det{B}=\det{B}$. Поскольку $\det{A}=1$, получаем $\det{B}=\det{B}$. И как отсюда следует, что $\det{B}=0$?

-- Вт июн 07, 2022 20:16:07 --

Maxim19 в сообщении #1556673 писал(а):

Я в лоб решил и нашёл $k$, оно равно 4.

Если $A$ дана, $k$ уже известно, то что мешает вычислить матрицу $B$, а затем и $\det{B}$?

Либо задача в оригинале криво сформулирована, либо испорченный телефон.

[Lia]

Насколько я понимаю, это ТС криво формулирует. $k$ неизвестно. Известно, что некоторая степень матрицы равна единичной. А чтобы знать $B$, нужно знать, сколько слагаемых складывать. Хотя, на самом деле, это не так и обязательно, у $\det B$ возможны максимум два значения (с некоторой поправкой, что под этим подразумевать).

-- 07.06.2022, 19:09 --

Maxim19 в сообщении #1556673 писал(а):

Необходимо найти $k$.

Maxim19, вот этого в формулировке не было? Это Вы сами приписали? $k$ ведь заведомо не единственно.

[nnosipov]

Давайте вот это считать задачей:

Maxim19 в сообщении #1556673 писал(а):

Есть матрица $A$, а также есть значение $k$, для которого $A^k=E$, необходимо показать, что $\det(A+A^2+A^3....+A^k)$ имеет целочисленное значение.

Она хоть и дурацкая, но имеет некоторое ненулевое (пардон за каламбур) содержание.

[Maxim19]

Если матрица $B$ не имеет определитель равный нулю, то из $AB=B$ следует
$ABB^-=BB^-$ или же $A=E$, что неверно.

-- 07.06.2022, 21:28 --

А что касается единственности $k$, то речь идёт о порядке, то есть минимальном таком положительном.

-- 07.06.2022, 21:28 --

А что касается единственности $k$, то речь идёт о порядке, то есть минимальном таком положительном.

[svv]

Матрица, обратная матрице $B$, обозначается $B^{-1}$. Я понимаю, что Вы так и хотели написать, но единица сползала вниз. В $\TeX$ это кодируется так: B^{-1}

Maxim19 в сообщении #1556750 писал(а):

или же $A=E$, что неверно

Для конкретной матрицы $A$ третьего порядка, которую Вы привели выше, это, конечно, неверно, но в общей постановке это одна из возможностей. И, смотрите, ведь при этом $\det B$ тоже будет целым числом! (кстати, каким?)

Maxim19 в сообщении #1556750 писал(а):

А что касается единственности $k$, то речь идёт о порядке, то есть минимальном таком положительном.

Хорошо, только это надо явно оговаривать. Я, например, подумал, что речь о некотором натуральном $k$, при котором $A^k=E$. Хотя благодаря телепатическим способностям я обычно легко восстанавливаю недостающие детали условия.

[Maxim19]

$det B$ будет равно нулю, да, это целое число, вопрос лишь в том, как целочисленночть определителя поможет в нахождении порядка.

[svv]

А в случае $A=E$ чему равны $k$, $B$ и $\det B$?

[Maxim19]

Минимальное $k$ равно единице, и определитель будет равен единице. Верно?

-- 07.06.2022, 23:34 --

Это всё конечно хорошо, но не думаю, что исчерпывает главную проблему.

[svv]

Нет, хитрее. Пусть $A$ — единичная матрица седьмого порядка.

[Maxim19]

Это если $k$ будет кратно семи?

[svv]

Ну, Вы же сказали, что при $A=E$ будет $k=1$.
Но дело в том, что $E$ — это не какая-то конкретная матрица, а общее обозначение для единичных матриц разного порядка. Когда их надо различить, это делается с помощью нижнего индекса. Например,
$E_1=\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}, E_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}, E_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ и так далее.
Вот я и спрашиваю про $A=E_7$. Выписывать её явно не будем, ладно?

[Maxim19]

Если вы имеете ввиду, что $A=E$, и там будет седьмой порядок, то от этого не изменится определитель $B$. Он так же будет равен единице и $k=1$.

[svv]

Да, всё верно, простите. У меня помутилось в голове, и я спутал определитель и след.
Теперь про $k$ в случае $A\neq E$. Это зависит от конкретной матрицы. Рассмотрим матрицы такого вида:
$A=\begin{bmatrix}\cos\varphi&-\sin\varphi\\\sin\varphi&\cos\varphi\end{bmatrix}$
Это матрица поворота евклидовой плоскости на угол $\varphi$ вокруг начала координат (в декартовых координатах). Если $\varphi=\frac{2\pi} n$, где $n$ натуральное, то $A^n$ будет описывать поворот на угол $2\pi$, при этом плоскость повернётся на угол $2\pi$ и преобразование будет тождественным, то есть $A^n=E$ и $k=n$.
Я описал способ построить матрицу $A$ всего лишь второго порядка с любым натуральным $k$, какое захотите.