2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ряд с простыми-близнецами
Сообщение03.06.2022, 12:01 


29/07/08
536
Простые числа близнецы связаны с рядом 12, 18, 30, 42, 48, 60, 72, 78, 90, ...
Поэтому простые-близнецы следует искать в последовательности
$a_n=(10n+\frac{4\sqrt{3}}3 \sin{\frac{2\pi}{3}}n)\pm1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд с простыми-близнецами
Сообщение03.06.2022, 13:24 
Заслуженный участник


20/08/14
11069
Россия, Москва
Зачем второе слагаемое в скобке? Оно же всегда равно лишь $\{-2; 0; +2\}$, почему так прямо и не написать? Зачем эти лишние усложнения банальностей? Ещё бы сказали что все простые близнецы (кроме первого, который кстати забыли!) надо искать в последовательности $a_n=6n\pm1$ ... :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд с простыми-близнецами
Сообщение04.06.2022, 01:42 


29/07/08
536
Хотел последовательность указать через формулу, поэтому чередование двоек изобразил синусом.
Может такая формула и мало интересная. но при ее получении появилась гипотеза, что в интервале двух праймориалов $(\prod p_{i};\prod p_{i+1})$ найдется не меньше двух пар простых чисел-близнецов. Причем одна пара близнецов меньше $\frac{\prod p_{i+1}}{2}$, а другая пара больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд с простыми-близнецами
Сообщение04.06.2022, 07:12 
Заслуженный участник


20/08/14
11069
Россия, Москва
Это было бы доказательством бесконечности простых близнецов. Ой сомнительно что сможете доказать ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд с простыми-близнецами
Сообщение04.06.2022, 08:38 


29/07/08
536
Эта гипотеза возникла от того, что с ростом праймориалов растет и количество пар близнецов в указанном интервале. Правда, подобное наблюдал для небольших праймориалов. Хотелось бы отследить ситуацию для бОльших праймориалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд с простыми-близнецами
Сообщение05.06.2022, 11:52 


29/07/08
536
Любопытное ещё наблюдение. Я сформулирую его в виде гипотезы.
Гипотеза. В интервале $(2^n;2^{n+1})$ присутствует не менее одной пары простых чисел - близнецов для любого n.
Опять же я анализировал небольшие степени.
$(4;8)$ первая пара близнецов 5 и 7, отклонение о начала интервала 75%
$(8;16)$ первая пара близнецов 11 и 13, отклонение о начала интервала 63%
$(16;32)$ первая пара близнецов 17 и 19, отклонение о начала интервала 19%
$(32;64)$ первая пара близнецов 41 и 43, отклонение о начала интервала 35%
$(64;128)$ первая пара близнецов 71 и 73, отклонение о начала интервала 15%
$(128;256)$ первая пара близнецов 149 и 151, отклонение о начала интервала 18%
$(256;512)$ первая пара близнецов 269 и 271, отклонение о начала интервала 6%
$(512;1024)$ первая пара близнецов 521 и 523, отклонение о начала интервала 2,2%
$(1024;2048)$ первая пара близнецов 1031 и 1033, отклонение о начала интервала 0,9%
$(2048;4096)$ первая пара близнецов 2081 и 2083, отклонение о начала интервала 1,7%
$(4096;8192)$ первая пара близнецов 4127 и 4129, отклонение о начала интервала 0,8%
$(8192;16384)$ первая пара близнецов 8219 и 8221, отклонение о начала интервала 0,4%

Обращает на себя внимание то, что уже после 1024 первая пара близнецов появляется в интервале $(2^n;1,02\cdot2^n)$, то есть отклонение меньше 2%.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд с простыми-близнецами
Сообщение05.06.2022, 21:17 
Заслуженный участник


20/08/14
11069
Россия, Москва
А что, гипотезы уже доказывать не нужно, достаточно высказать? Уж я тогда сейчас развернусь ... :mrgreen:

По делу.
Нет ничего удивительного что с ростом праймориала растёт и количество простых близнецов, для них же есть простая оценка количества. И если не гнаться за супер точностью оценки количества между праймориалами, то она делается за пять минут. Что здесь обсуждать ...

А про степени двойки, нет вообще никакой проблемы взять и получить данные до многотысячных степеней:
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Text
? for(k=13,100, pp=2; forprime(p=2^k,2*2^k, if(p-pp==2, printf("2^%d: %d,%d, %0.3e %%\n", k,pp,p,(p/2^k-1)*100.0); break); pp=p))
2^13: 8219,8221, 3.540 e-1 %
2^14: 16451,16453, 4.211 e-1 %
2^15: 32801,32803, 1.068 e-1 %
2^16: 65537,65539, 4.578 e-3 %
2^17: 131111,131113, 3.128 e-2 %
2^18: 262151,262153, 3.433 e-3 %
2^19: 524351,524353, 1.240 e-2 %
2^20: 1048889,1048891, 3.004 e-2 %
2^21: 2097257,2097259, 5.102 e-3 %
2^22: 4194581,4194583, 6.652 e-3 %
2^23: 8388617,8388619, 1.311 e-4 %
2^24: 16777289,16777291, 4.470 e-4 %
2^25: 33554501,33554503, 2.116 e-4 %
2^26: 67109321,67109323, 6.840 e-4 %
2^27: 134217779,134217781, 3.949 e-5 %
2^28: 268435577,268435579, 4.582 e-5 %
2^29: 536871017,536871019, 1.993 e-5 %
2^30: 1073741831,1073741833, 8.382 e-7 %
2^31: 2147483867,2147483869, 1.029 e-5 %
2^32: 4294967387,4294967389, 2.165 e-6 %
2^33: 8589934889,8589934891, 3.481 e-6 %
2^34: 17179869431,17179869433, 1.449 e-6 %
2^35: 34359738689,34359738691, 9.401 e-7 %
2^36: 68719476851,68719476853, 1.703 e-7 %
2^37: 137438954039,137438954041, 4.140 e-7 %
2^38: 274877908271,274877908273, 4.835 e-7 %
2^39: 549755814299,549755814301, 7.512 e-8 %
2^40: 1099511628329,1099511628331, 5.048 e-8 %
2^41: 2199023256539,2199023256541, 4.497 e-8 %
2^42: 4398046511429,4398046511431, 7.435 e-9 %
2^43: 8796093022391,8796093022393, 2.103 e-9 %
2^44: 17592186046481,17592186046483, 1.175 e-8 %
2^45: 35184372091397,35184372091399, 7.296 e-9 %
2^46: 70368744178079,70368744178081, 5.926 e-10 %
2^47: 140737488356207,140737488356209, 6.260 e-10 %
2^48: 281474976710897,281474976710899, 8.633 e-11 %
2^49: 562949953421771,562949953421773, 8.189 e-11 %
2^50: 1125899906843267,1125899906843269, 5.729 e-11 %
2^51: 2251799813686457,2251799813686459, 5.378 e-11 %
2^52: 4503599627370887,4503599627370889, 8.726 e-12 %
2^53: 9007199254742147,9007199254742149, 1.285 e-11 %
2^54: 18014398509483461,18014398509483463, 8.210 e-12 %
2^55: 36028797018965417,36028797018965419, 4.027 e-12 %
2^56: 72057594037928111,72057594037928113, 2.456 e-13 %
2^57: 144115188075856001,144115188075856003, 9.090 e-14 %
2^58: 288230376151712789,288230376151712791, 3.633 e-13 %
2^59: 576460752303424529,576460752303424531, 1.809 e-13 %
2^60: 1152921504606849707,1152921504606849709, 2.370 e-13 %
2^61: 2305843009213695869,2305843009213695871, 8.322 e-14 %
2^62: 4611686018427388091,4611686018427388093, 4.098 e-15 %
2^63: 9223372036854777341,9223372036854777343, 1.664 e-14 %
2^64: 18446744073709552421,18446744073709552423, 4.375 e-15 %
2^65: 36893488147419104219,36893488147419104221, 2.681 e-15 %
2^66: 73786976294838207449,73786976294838207451, 1.338 e-15 %
2^67: 147573952589676413081,147573952589676413083, 1.050 e-16 %
2^68: 295147905179352827321,295147905179352827323, 4.970 e-16 %
2^69: 590295810358705652627,590295810358705652629, 1.553 e-16 %
2^70: 1180591620717411305939,1180591620717411305941, 2.132 e-16 %
2^71: 2361183241434822607637,2361183241434822607639, 3.350 e-17 %
2^72: 4722366482869645215629,4722366482869645215631, 4.098 e-17 %
2^73: 9444732965739290429279,9444732965739290429281, 2.000 e-17 %
2^74: 18889465931478580855301,18889465931478580855303, 2.748 e-18 %
2^75: 37778931862957161710159,37778931862957161710161, 1.570 e-18 %
2^76: 75557863725914323421357,75557863725914323421359, 2.942 e-18 %
2^77: 151115727451828646838341,151115727451828646838343, 4.698 e-20 %
2^78: 302231454903657293676659,302231454903657293676661, 3.871 e-20 %
2^79: 604462909807314587354261,604462909807314587354263, 1.944 e-19 %
2^80: 1208925819614629174707851,1208925819614629174707853, 1.387 e-19 %
2^81: 2417851639229258349412577,2417851639229258349412579, 9.388 e-21 %
2^82: 4835703278458516698824747,4835703278458516698824749, 9.306 e-22 %
2^83: 9671406556917033397651181,9671406556917033397651183, 1.835 e-20 %
2^84: 19342813113834066795301667,19342813113834066795301669, 1.475 e-20 %
2^85: 38685626227668133590606089,38685626227668133590606091, 2.187 e-20 %
2^86: 77371252455336267181195919,77371252455336267181195921, 8.492 e-22 %
2^87: 154742504910672534362394779,154742504910672534362394781, 2.748 e-21 %
2^88: 309485009821345068724783409,309485009821345068724783411, 7.609 e-22 %
2^89: 618970019642690137449563957,618970019642690137449563959, 2.984 e-22 %
2^90: 1237940039285380274899134971,1237940039285380274899134973, 8.683 e-22 %
2^91: 2475880078570760549798251871,2475880078570760549798251873, 1.383 e-22 %
2^92: 4951760157141521099596502141,4951760157141521099596502143, 1.060 e-22 %
2^93: 9903520314283042199192996579,9903520314283042199192996581, 2.816 e-23 %
2^94: 19807040628566084398385988491,19807040628566084398385988493, 4.589 e-24 %
2^95: 39614081257132168796771977217,39614081257132168796771977219, 5.177 e-24 %
2^96: 79228162514264337593543953697,79228162514264337593543953699, 4.245 e-24 %
2^97: 158456325028528675187087904509,158456325028528675187087904511, 2.423 e-24 %
2^98: 316912650057057350374175805269,316912650057057350374175805271, 1.239 e-24 %
2^99: 633825300114114700748351606891,633825300114114700748351606893, 6.634 e-25 %
2^100: 1267650600228229401496703211011,1267650600228229401496703211013, 4.447 e-25 %
time = 250 ms.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд с простыми-близнецами
Сообщение06.06.2022, 00:51 


29/07/08
536
Уважаемый Dmitriy40, спасибо за ваши вычисления. Они подтвердили мои предположения по близнецам.
Теперь попробую обосновать свою гипотезу. Но пока есть только прикидки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group