Ряд с простыми-близнецами

[Побережный Александр]

Простые числа близнецы связаны с рядом 12, 18, 30, 42, 48, 60, 72, 78, 90, ...
Поэтому простые-близнецы следует искать в последовательности
$a_n=(10n+\frac{4\sqrt{3}}3 \sin{\frac{2\pi}{3}}n)\pm1$

[Dmitriy40]

Зачем второе слагаемое в скобке? Оно же всегда равно лишь $\{-2; 0; +2\}$, почему так прямо и не написать? Зачем эти лишние усложнения банальностей? Ещё бы сказали что все простые близнецы (кроме первого, который кстати забыли!) надо искать в последовательности $a_n=6n\pm1$ ...

[Побережный Александр]

Хотел последовательность указать через формулу, поэтому чередование двоек изобразил синусом.
Может такая формула и мало интересная. но при ее получении появилась гипотеза, что в интервале двух праймориалов $(\prod p_{i};\prod p_{i+1})$ найдется не меньше двух пар простых чисел-близнецов. Причем одна пара близнецов меньше $\frac{\prod p_{i+1}}{2}$, а другая пара больше.

[Dmitriy40]

Это было бы доказательством бесконечности простых близнецов. Ой сомнительно что сможете доказать ...

[Побережный Александр]

Эта гипотеза возникла от того, что с ростом праймориалов растет и количество пар близнецов в указанном интервале. Правда, подобное наблюдал для небольших праймориалов. Хотелось бы отследить ситуацию для бОльших праймориалов.

[Побережный Александр]

Любопытное ещё наблюдение. Я сформулирую его в виде гипотезы.
Гипотеза. В интервале $(2^n;2^{n+1})$ присутствует не менее одной пары простых чисел - близнецов для любого n.
Опять же я анализировал небольшие степени.
$(4;8)$ первая пара близнецов 5 и 7, отклонение о начала интервала 75%
$(8;16)$ первая пара близнецов 11 и 13, отклонение о начала интервала 63%
$(16;32)$ первая пара близнецов 17 и 19, отклонение о начала интервала 19%
$(32;64)$ первая пара близнецов 41 и 43, отклонение о начала интервала 35%
$(64;128)$ первая пара близнецов 71 и 73, отклонение о начала интервала 15%
$(128;256)$ первая пара близнецов 149 и 151, отклонение о начала интервала 18%
$(256;512)$ первая пара близнецов 269 и 271, отклонение о начала интервала 6%
$(512;1024)$ первая пара близнецов 521 и 523, отклонение о начала интервала 2,2%
$(1024;2048)$ первая пара близнецов 1031 и 1033, отклонение о начала интервала 0,9%
$(2048;4096)$ первая пара близнецов 2081 и 2083, отклонение о начала интервала 1,7%
$(4096;8192)$ первая пара близнецов 4127 и 4129, отклонение о начала интервала 0,8%
$(8192;16384)$ первая пара близнецов 8219 и 8221, отклонение о начала интервала 0,4%

Обращает на себя внимание то, что уже после 1024 первая пара близнецов появляется в интервале $(2^n;1,02\cdot2^n)$, то есть отклонение меньше 2%.

[Dmitriy40]

А что, гипотезы уже доказывать не нужно, достаточно высказать? Уж я тогда сейчас развернусь ...

По делу.
Нет ничего удивительного что с ростом праймориала растёт и количество простых близнецов, для них же есть простая оценка количества. И если не гнаться за супер точностью оценки количества между праймориалами, то она делается за пять минут. Что здесь обсуждать ...

А про степени двойки, нет вообще никакой проблемы взять и получить данные до многотысячных степеней:

Используется синтаксис Text

? for(k=13,100, pp=2; forprime(p=2^k,2*2^k, if(p-pp==2, printf("2^%d: %d,%d, %0.3e %%\n", k,pp,p,(p/2^k-1)*100.0); break); pp=p))
2^13: 8219,8221, 3.540 e-1 %
2^14: 16451,16453, 4.211 e-1 %
2^15: 32801,32803, 1.068 e-1 %
2^16: 65537,65539, 4.578 e-3 %
2^17: 131111,131113, 3.128 e-2 %
2^18: 262151,262153, 3.433 e-3 %
2^19: 524351,524353, 1.240 e-2 %
2^20: 1048889,1048891, 3.004 e-2 %
2^21: 2097257,2097259, 5.102 e-3 %
2^22: 4194581,4194583, 6.652 e-3 %
2^23: 8388617,8388619, 1.311 e-4 %
2^24: 16777289,16777291, 4.470 e-4 %
2^25: 33554501,33554503, 2.116 e-4 %
2^26: 67109321,67109323, 6.840 e-4 %
2^27: 134217779,134217781, 3.949 e-5 %
2^28: 268435577,268435579, 4.582 e-5 %
2^29: 536871017,536871019, 1.993 e-5 %
2^30: 1073741831,1073741833, 8.382 e-7 %
2^31: 2147483867,2147483869, 1.029 e-5 %
2^32: 4294967387,4294967389, 2.165 e-6 %
2^33: 8589934889,8589934891, 3.481 e-6 %
2^34: 17179869431,17179869433, 1.449 e-6 %
2^35: 34359738689,34359738691, 9.401 e-7 %
2^36: 68719476851,68719476853, 1.703 e-7 %
2^37: 137438954039,137438954041, 4.140 e-7 %
2^38: 274877908271,274877908273, 4.835 e-7 %
2^39: 549755814299,549755814301, 7.512 e-8 %
2^40: 1099511628329,1099511628331, 5.048 e-8 %
2^41: 2199023256539,2199023256541, 4.497 e-8 %
2^42: 4398046511429,4398046511431, 7.435 e-9 %
2^43: 8796093022391,8796093022393, 2.103 e-9 %
2^44: 17592186046481,17592186046483, 1.175 e-8 %
2^45: 35184372091397,35184372091399, 7.296 e-9 %
2^46: 70368744178079,70368744178081, 5.926 e-10 %
2^47: 140737488356207,140737488356209, 6.260 e-10 %
2^48: 281474976710897,281474976710899, 8.633 e-11 %
2^49: 562949953421771,562949953421773, 8.189 e-11 %
2^50: 1125899906843267,1125899906843269, 5.729 e-11 %
2^51: 2251799813686457,2251799813686459, 5.378 e-11 %
2^52: 4503599627370887,4503599627370889, 8.726 e-12 %
2^53: 9007199254742147,9007199254742149, 1.285 e-11 %
2^54: 18014398509483461,18014398509483463, 8.210 e-12 %
2^55: 36028797018965417,36028797018965419, 4.027 e-12 %
2^56: 72057594037928111,72057594037928113, 2.456 e-13 %
2^57: 144115188075856001,144115188075856003, 9.090 e-14 %
2^58: 288230376151712789,288230376151712791, 3.633 e-13 %
2^59: 576460752303424529,576460752303424531, 1.809 e-13 %
2^60: 1152921504606849707,1152921504606849709, 2.370 e-13 %
2^61: 2305843009213695869,2305843009213695871, 8.322 e-14 %
2^62: 4611686018427388091,4611686018427388093, 4.098 e-15 %
2^63: 9223372036854777341,9223372036854777343, 1.664 e-14 %
2^64: 18446744073709552421,18446744073709552423, 4.375 e-15 %
2^65: 36893488147419104219,36893488147419104221, 2.681 e-15 %
2^66: 73786976294838207449,73786976294838207451, 1.338 e-15 %
2^67: 147573952589676413081,147573952589676413083, 1.050 e-16 %
2^68: 295147905179352827321,295147905179352827323, 4.970 e-16 %
2^69: 590295810358705652627,590295810358705652629, 1.553 e-16 %
2^70: 1180591620717411305939,1180591620717411305941, 2.132 e-16 %
2^71: 2361183241434822607637,2361183241434822607639, 3.350 e-17 %
2^72: 4722366482869645215629,4722366482869645215631, 4.098 e-17 %
2^73: 9444732965739290429279,9444732965739290429281, 2.000 e-17 %
2^74: 18889465931478580855301,18889465931478580855303, 2.748 e-18 %
2^75: 37778931862957161710159,37778931862957161710161, 1.570 e-18 %
2^76: 75557863725914323421357,75557863725914323421359, 2.942 e-18 %
2^77: 151115727451828646838341,151115727451828646838343, 4.698 e-20 %
2^78: 302231454903657293676659,302231454903657293676661, 3.871 e-20 %
2^79: 604462909807314587354261,604462909807314587354263, 1.944 e-19 %
2^80: 1208925819614629174707851,1208925819614629174707853, 1.387 e-19 %
2^81: 2417851639229258349412577,2417851639229258349412579, 9.388 e-21 %
2^82: 4835703278458516698824747,4835703278458516698824749, 9.306 e-22 %
2^83: 9671406556917033397651181,9671406556917033397651183, 1.835 e-20 %
2^84: 19342813113834066795301667,19342813113834066795301669, 1.475 e-20 %
2^85: 38685626227668133590606089,38685626227668133590606091, 2.187 e-20 %
2^86: 77371252455336267181195919,77371252455336267181195921, 8.492 e-22 %
2^87: 154742504910672534362394779,154742504910672534362394781, 2.748 e-21 %
2^88: 309485009821345068724783409,309485009821345068724783411, 7.609 e-22 %
2^89: 618970019642690137449563957,618970019642690137449563959, 2.984 e-22 %
2^90: 1237940039285380274899134971,1237940039285380274899134973, 8.683 e-22 %
2^91: 2475880078570760549798251871,2475880078570760549798251873, 1.383 e-22 %
2^92: 4951760157141521099596502141,4951760157141521099596502143, 1.060 e-22 %
2^93: 9903520314283042199192996579,9903520314283042199192996581, 2.816 e-23 %
2^94: 19807040628566084398385988491,19807040628566084398385988493, 4.589 e-24 %
2^95: 39614081257132168796771977217,39614081257132168796771977219, 5.177 e-24 %
2^96: 79228162514264337593543953697,79228162514264337593543953699, 4.245 e-24 %
2^97: 158456325028528675187087904509,158456325028528675187087904511, 2.423 e-24 %
2^98: 316912650057057350374175805269,316912650057057350374175805271, 1.239 e-24 %
2^99: 633825300114114700748351606891,633825300114114700748351606893, 6.634 e-25 %
2^100: 1267650600228229401496703211011,1267650600228229401496703211013, 4.447 e-25 %
time = 250 ms.

[Побережный Александр]

Уважаемый Dmitriy40, спасибо за ваши вычисления. Они подтвердили мои предположения по близнецам.
Теперь попробую обосновать свою гипотезу. Но пока есть только прикидки.