Верещагин, Шень, задача №74

[Laguna]

Возникла проблема с задачей №74 из книги "Начала теории множеств" Верещагина и Шеня: "Может ли семейство подмножеств натурального ряда
быть несчётным, если любые два его элемента имеют конечное пересечение?". В процессе решения у меня получилось док-ть, что этого быть не может, но ответ - да, может. Привожу ниже свои рассуждения по поводу задачи. Просьба указать, где именно мои рассуждение неверны.
Пусть такое множество В существует и оно несчётно, тогда возьмем случайный элемент из В и пересечём его со всем остальными элементами этого множества. И из всех результатов этого пересечения составим новое множество, которое, очевидно, будет равномощно множеству В. По факту у нас получится бесконечное множество конечных последовательностей натуральных чисел,а в книге есть явное утверждение, что множество ВСЕХ конечных последовательностей натуральных чисел счётно,а значит и наше новое множество должно быть счётно, но мы получили, что оно равномощно B. Противоречие, а значит, такого множества быть не может.

[F111mon]

Laguna в сообщении #1556347 писал(а):

Пусть такое множество В существует и оно несчётно, тогда возьмем случайный элемент из В и пересечём его со всем остальными элементами этого множества. И из всех результатов этого пересечения составим новое множество, которое, очевидно, будет равномощно множеству В.

Ну это вряд ли. Возьмем пустое множество и будем пересекать его со всеми другими.

[Null]

Laguna в сообщении #1556347 писал(а):

И из всех результатов этого пересечения составим новое множество, которое, очевидно, будет равномощно множеству В

Вот это не верно, пересечения могут повторяться.

[bot]

Laguna в сообщении #1556347 писал(а):

Противоречие, а значит, такого множества быть не может.

То есть Вы уверены, что такого семейства нет?
Вроде не сильно толстая подсказка: множество действительных чисел несчётно.

(Оффтоп)

Laguna в сообщении #1556347 писал(а):

но ответ - да, может

Этого при первом прочтении не заметил, вот и заколебался, не слишком ли толсто подсказал.

[Someone]

Laguna в сообщении #1556347 писал(а):

В процессе решения у меня получилось док-ть, что этого быть не может, но ответ - да, может.

Множество натуральных чисел равномощно множеству рациональных чисел (между ними существует взаимно однозначное соответствие), а в множестве рациональных чисел очень легко построить континуальное множество почти дизъюнктных подмножеств, если использовать его вложение в множество действительных чисел.