В процессе решения у меня получилось док-ть, что этого быть не может, но ответ - да, может.
Множество натуральных чисел равномощно множеству рациональных чисел (между ними существует взаимно однозначное соответствие), а в множестве рациональных чисел очень легко построить континуальное множество почти дизъюнктных подмножеств, если использовать его вложение в множество действительных чисел.