Доказательство правила Лопиталя

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1555954 писал(а):

А если как какую-то первообразную, то почему нет?

Потому что нужен будет предельный переход, а соответствующие теоремы для первообразных непонятно даже как формулировать.

EminentVictorians в сообщении #1555954 писал(а):

Но что нам надо от интеграла? Только линейность вроде бы.

Формулу Ньютона-Лейбница вам в первом переходе надо.

[RIP]

EminentVictorians
Если Вы используете именно неопределённые интегралы (точнее первообразные), то переход $\frac{\int f'}{\int g'}\approx\frac{\int Ag'}{\int g'}$ — это, фактически, и есть правило Лопиталя, которое Вы стремитесь доказать. То есть да, правило Лопиталя — это формализация (невнятного) правила «если $f'\approx g'$, то $\int f'\approx\int g'$».
Можно обойтись только первообразными, но тогда вообще нет нужды упоминать интегралы (если первообразная $f$ известна, то зачем использовать для неё громоздкое обозначение $\int f'$?). Исходное утверждение (и другие правила Лопиталя) можно вывести из такого: Пусть $f'(x)\leqslant g'(x)$ при $x\in(a,b)$, причём существуют конечные правые пределы $f(a+0)=g(a+0)$. Тогда $f(x)\leqslant g(x)$ при $x\in(a,b)$. Тут достаточно теоремы Лагранжа вместо теоремы Коши.
Другими словами, правило Лопиталя можно вывести из правила интегрирования неравенств, которое есть как для определённого интеграла ($f(x) \leqslant g(x) \implies \int_{a}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t \leqslant \int_{a}^{x}g(t)\,\mathrm{d}t$), так и для неопределённого ($f'(x) \leqslant g'(x) \implies f(x)-f(a) \leqslant g(x)-g(a)$).

[novichok2018]

Может быть стоит всё-таки доказательства в книге Зорича посмотреть? Кроме чётких доказательств, близких к оптимальным, там ещё и общеизвестные условия на функции в числителе и знаменателе ослаблены до практически оптимальных.