Значение элемента, при котором достигается супремум

[matanga]

Всем известна формула вычисления нормы линейного функционала $||A||=sup_{x}\tfrac{||Ax||}{||x||}$ для любого $x:||x||>0$ в единичном шаре. Вопрос состоит в том, чтобы найти именно тот элемент, при котором и достигается этот $sup$

Заранее спасибо

[Brukvalub]

matanga в сообщении #155520 писал(а):

Вопрос состоит в том, чтобы найти именно тот элемент, при котором и достигается этот $sup$

А Вы уверены, что такой элемент всегда найдется?

[Хорхе]

Если кто-то ответит на этот вопрос в общем виде, для произвольной нормы и произвольного функционала --- ему сразу дадут Филдсовскую медаль, ковер и телевизор

[matanga]

у нас преподаватель (Рамазанов М.Д.) дал такую задачу и сказал, что в какой то его книге есть ее решение!

[zoo]

matanga писал(а):

у нас преподаватель (Рамазанов М.Д.) дал такую задачу и сказал, что в какой то его книге есть ее решение!

либо ваш преподаватель имел ввиду что-то очень конкретное, конкретный тип операторов или например конечномерные пространства , либо он (Рамазанов М.Д.) приблизился к Будде

[matanga]

Вот какую формулу он приводит:
Пусть B - банахово пространство, $B^{**}=B$. Пусть единичный шар этого пространства имеет гладкую границу, то есть можно дифференцировать норму. Таким образом:
Существует $\tfrac{d}{dt}||x+th||_{t=0}$:
Для любого $l$ из $B^{*}$ верно $||l||_{*}=sup_{||x||=1}|(l,x)|=max_{||x||=1}|(l,x)|=(l,f)$, где $f$ такой, что $(\lambda,f)=\tfrac{d}{dt}||l+t\lambda||_{B^{*}}$ при $t=0$

Это нужно доказать. Подскажите, пожалуйста, как?

[zoo]

matanga писал(а):

Вот какую формулу он приводит:
Пусть B - банахово пространство, $B^{**}=B$. Пусть единичный шар этого пространства имеет гладкую границу, то есть можно дифференцировать норму. Таким образом:
Существует $\tfrac{d}{dt}||x+th||_{t=0}$:
Для любого $l$ из $B^{*}$ верно $||l||_{*}=sup_{||x||=1}|(l,x)|=max_{||x||=1}|(l,x)|=(l,f)$, где $f$ такой, что $(\lambda,f)=\tfrac{d}{dt}||l+t\lambda||_{B^{*}}$ при $t=0$

Это нужно доказать. Подскажите, пожалуйста, как?

в рефлексивном банаховом пространстве шар слабо компактен, поэтому непрерывный линейный функионал достигает в этом шаре максимума. А в силу линейности этот максимум достигается на границе шара. С последней формулой разбирайтесь сами.

[Brukvalub]

Мне непонятны уже вот эти слова:

matanga в сообщении #155575 писал(а):

Пусть единичный шар этого пространства имеет гладкую границу, то есть можно дифференцировать норму.

В каком смысле понимается гладкость границы? И почему из гладкости границы вытекает дифференцируемость нормы?

[zoo]

Brukvalub писал(а):

Мне непонятны уже вот эти слова:

matanga в сообщении #155575 писал(а):

Пусть единичный шар этого пространства имеет гладкую границу, то есть можно дифференцировать норму.

В каком смысле понимается гладкость границы? И почему из гладкости границы вытекает дифференцируемость нормы?

я думаю, что гладкость понимается именно в смысле дифференцируемости нормы, но термин сам по себе конечно дикий

[matanga]

zoo писал(а):

matanga писал(а):

Вот какую формулу он приводит:
Пусть B - банахово пространство, $B^{**}=B$. Пусть единичный шар этого пространства имеет гладкую границу, то есть можно дифференцировать норму. Таким образом:
Существует $\tfrac{d}{dt}||x+th||_{t=0}$:
Для любого $l$ из $B^{*}$ верно $||l||_{*}=sup_{||x||=1}|(l,x)|=max_{||x||=1}|(l,x)|=(l,f)$, где $f$ такой, что $(\lambda,f)=\tfrac{d}{dt}||l+t\lambda||_{B^{*}}$ при $t=0$

Это нужно доказать. Подскажите, пожалуйста, как?

в рефлексивном банаховом пространстве шар слабо компактен, поэтому непрерывный линейный функионал достигает в этом шаре максимума. А в силу линейности этот максимум достигается на границе шара. С последней формулой разбирайтесь сами.

Вся проблема в том, что я не могу доказать формулу...помогите, пожалуйста! Спасите меня....

[Brukvalub]

Формально: если элемент $f$ такой, что $(\lambda,f)=\tfrac{d}{dt}||l+t\lambda||_{B^{*}}$ при $t=0$, то, взяв

\[\lambda = l\]

, имеем:

\[ (l\;,\;f) = \frac{d}{{dt}}\left| {\left| {l + tl} \right|} \right| = \frac{d}{{dt}}(1 + t)\left| {\left| l \right|} \right| = \left| {\left| l \right|} \right| \]

Только это все не более, чем игра с буковками, суть остается "за кадром"

[zoo]

какая суть за каким кадром непонятно

[matanga]

Вот вот....блин...
Ну объясните кто нибудь, как это доказать????

[Brukvalub]

matanga в сообщении #155816 писал(а):

Ну объясните кто нибудь, как это доказать????

Так, вроде, я уже объяснил!?

[matanga]

Ну вы же сказали, что это чисто формально, а суть остается за кадром....
так в чем суть то?