Неожиданно, удалось доказать, что существует максимум конечное количество четвёрок последовательных натуральных чисел, имеющих
делителей (
фиксированное простое число,
натуральное).
Доказательство начнём с двух лемм.
Лемма 1. Пусть
имеет
делителей,
- простой делитель
, входящий в его разложении на простые в степени
. Тогда либо
, либо
, либо
(причём, простой делитель делитель первого и третьего типов может быть только один).
Заметим также, что
делится на
. Это будет использовано в доказательстве второй леммы.
Лемма 2. Пусть
имеет
делителей. Тогда
можно представить в одном из следующих видов (
натуральные,
простое):
1)
2)
3)
Доказательство. В разложении
на простые множители либо есть простое в первой степени, либо нет. В первом случае
имеет вид 2). Во втором случае в разложении
на простые либо есть простые в степени кратной
, либо нет. В первом случае
имеет вид 3), а во втором
имеет вид 1).
Теперь перейдём к доказательству основного утверждения. Среди четырёх последовательных натуральных чисел, имеющих
делителей есть два чётных. Обозначим их
и
, так что
и
. Тогда
. Заметим, что
принадлежит второму типу, то есть
. Далее будут рассмотрены три случая в зависимости от того, к какому из трёх типов принадлежит
.
I.
. Подставив в уравнение
, получим
, что невозможно, так как в левой части разность квадратов.
II.
,
нечётное. Подставив в уравнение
, получим
НОД сомножителей в левой части равен двум, поэтому один из них имеет вид
либо
. Тогда
или
. Второе уравнение неразрешимо по теореме Михэйлеску, а первое является уравнением Туэ степени
, которое имеет конечное количество решений.
III.
или
. В первом случае получаем уравнение
, которое неразрешимо, так как слева разность квадратов. Рассмотрение второго случая аналогично разбору случая II. (уравнение Туэ получается то же самое).
-- 27.05.2022, 16:12 --Оформить доказательство было сложнее, чем придумать.