Система параметрических уравнений

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Помогите разобраться. Найти все значения параметра $a$ , для каждого из которых имеет единственное решение система:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2-2(a+1)x+a^2-12=2y \\ y^2-2(a+1)y+a^2-12=2x \\ \end{array} \right.$$

Поскольку уравнения одинаковы с точностью до замены букв, то если $(x_0,y_0) $ - решение системы, то $(y_0,x_0)$ -тоже решение. Тогда для нахождения единственного решения необходимо, чтобы $x_0=y_0$. Подставим в первое уравнение $y=x$ получим:
$x^2-2(a+2)x+a^2-12=0$. Чтобы решение было единственным необходимо, чтобы дискриминант: $D=0$ или $\frac{D}{4}= 4(a+4)= 0 $ , т.е. $a=-4$
Здесь возник первый вопрос. Нужно ли проверять необходимость, т.к. я уже нашел $a=-4$ из условия $D=0$ и это обеспечило единственность? Тем не менее проверяю, является ли решение единственным при $a=-4$. Подставим в систему и получим:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2+6x+4-2y=0 \\ y^2+6y+4-2x=0 \\ \end{array} \right.$$

Здесь возник второй вопрос, нужно ли решать в таком виде или подставлять в уравнения $x=y$ ? Если решать в таком, то вычтем из первого второе, второе оставим как есть:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} (x-y)(x+y+8)=0 \\ y^2+6y+4-2x=0 \\ \end{array} \right.$$

или

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x-y=0 \\ y^2+6y+4-2x=0 \\ \end{array} \right.$$

и другое решение:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x+y+8=0 \\ y^2+6y+4-2x=0 \\ \end{array} \right.$$

Первая система дает единственное решение: $(-2,-2)$ , вторая еще две пары: $(2(6+\sqrt{7});-2(2+\sqrt{7}))$ и $(2(6-\sqrt{7});-2(2-\sqrt{7}))$. Т.е. получается, что решение не единственное при $a=-4$, т.е. нет таких $a$ , при которых система имеет единственное решение? В чем я ошибаюсь?

[nnosipov]

Stensen в сообщении #1555695 писал(а):

В чем я ошибаюсь?

Вы неправильно решили систему при $a=-4$. А так все верно.

[Stensen]

nnosipov в сообщении #1555698 писал(а):

Stensen в сообщении #1555695 писал(а):

В чем я ошибаюсь?

Вы неправильно решили систему при $a=-4$. А так все верно.

Спасибо, нашел ошибку