2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Система параметрических уравнений
Сообщение28.05.2022, 08:07 
Аватара пользователя
Доброго всем времени суток. Помогите разобраться. Найти все значения параметра $a$ , для каждого из которых имеет единственное решение система:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x^2-2(a+1)x+a^2-12=2y \\
y^2-2(a+1)y+a^2-12=2x \\
\end{array}
\right.$$
Поскольку уравнения одинаковы с точностью до замены букв, то если $(x_0,y_0) $ - решение системы, то $(y_0,x_0)$ -тоже решение. Тогда для нахождения единственного решения необходимо, чтобы $x_0=y_0$. Подставим в первое уравнение $y=x$ получим:
$x^2-2(a+2)x+a^2-12=0$. Чтобы решение было единственным необходимо, чтобы дискриминант: $D=0$ или $\frac{D}{4}= 4(a+4)= 0 $ , т.е. $a=-4$
Здесь возник первый вопрос. Нужно ли проверять необходимость, т.к. я уже нашел $a=-4$ из условия $D=0$ и это обеспечило единственность? Тем не менее проверяю, является ли решение единственным при $a=-4$. Подставим в систему и получим:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 x^2+6x+4-2y=0 \\
y^2+6y+4-2x=0 \\
\end{array}
\right.$$
Здесь возник второй вопрос, нужно ли решать в таком виде или подставлять в уравнения $x=y$ ? Если решать в таком, то вычтем из первого второе, второе оставим как есть:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 (x-y)(x+y+8)=0 \\
y^2+6y+4-2x=0 \\
\end{array}
\right.$$ или
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x-y=0 \\
y^2+6y+4-2x=0 \\
\end{array}
\right.$$ и другое решение:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y+8=0 \\
y^2+6y+4-2x=0 \\
\end{array}
\right.$$
Первая система дает единственное решение: $(-2,-2)$ , вторая еще две пары: $(2(6+\sqrt{7});-2(2+\sqrt{7}))$ и $(2(6-\sqrt{7});-2(2-\sqrt{7}))$. Т.е. получается, что решение не единственное при $a=-4$, т.е. нет таких $a$ , при которых система имеет единственное решение? В чем я ошибаюсь?

 
 
 
 Re: Система параметрических уравнений
Сообщение28.05.2022, 09:04 
Stensen в сообщении #1555695 писал(а):
В чем я ошибаюсь?
Вы неправильно решили систему при $a=-4$. А так все верно.

 
 
 
 Re: Система параметрических уравнений
Сообщение28.05.2022, 09:13 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #1555698 писал(а):
Stensen в сообщении #1555695 писал(а):
В чем я ошибаюсь?
Вы неправильно решили систему при $a=-4$. А так все верно.
Спасибо, нашел ошибку

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group