Диофантово уравнение четвёртой степени

[mathematician123]

Известно ли науке решение уравнения $x^2+1 = 2y^4$ в целых числах? Вопрос интересен тем, что позволяет получить новые верхние оценки для функции $M(d) $, которая равна максимально возможному количеству подряд идущих натуральных чисел, имеющих ровно $d$ делителей.

[Andrey A]

mathematician123 в сообщении #1555666 писал(а):

$x^2+1 = 2y^4$

$x_1=y_1=1,$

$x_2=239,y_2=13.$

С большой вероятностью других нет. Зависит от вхождения целых квадратов в последовательность $1,5,...,a_{n+1}=6a_n-a_{n-1},...$ В любом случае их конечное число. Было недавно с пятерками.

[nnosipov]

mathematician123 в сообщении #1555666 писал(а):

Известно ли науке решение уравнения $x^2+1 = 2y^4$ в целых числах?

Да, это Ljunggren's equation. См., например, в книге Mordell L.J. Diophantine equations (AP, 1969).

[mathematician123]

nnosipov в сообщении #1555694 писал(а):

Да, это Ljunggren's equation.

Спасибо!

Удалось также найти элементарное решение: An Elementary Proof for Ljunggren Equation, Zhengjun Cao,Lihua Liu. Но у меня возникли трудности с пониманием этого доказательства, не уверен, что оно вообще верное.

[nnosipov]

mathematician123 в сообщении #1555704 писал(а):

не уверен, что оно вообще верное

Корректного элементарного доказательства мне не известно. А некорректные встречались.

[mathematician123]

mathematician123 в сообщении #1555704 писал(а):

Но у меня возникли трудности с пониманием этого доказательства, не уверен, что оно вообще верное.

Ошибка на второй странице. Из $b^2+c^2 = 169k^2$ делается вывод, что $\frac{b}{c} = \frac{5}{12}$ или $\frac{b}{c} = \frac{12}{5}$. Но это неверно. $\frac{b}{c}$ может быть сколь угодно большим или малым.

[nnosipov]

Ожидаемо.