2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диофантово уравнение четвёртой степени
Сообщение27.05.2022, 23:21 


21/04/22
356
Известно ли науке решение уравнения $x^2+1 = 2y^4$ в целых числах? Вопрос интересен тем, что позволяет получить новые верхние оценки для функции $M(d) $, которая равна максимально возможному количеству подряд идущих натуральных чисел, имеющих ровно $d$ делителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение четвёртой степени
Сообщение28.05.2022, 03:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
mathematician123 в сообщении #1555666 писал(а):
$x^2+1 = 2y^4$

$x_1=y_1=1,$

$x_2=239,y_2=13.$

С большой вероятностью других нет. Зависит от вхождения целых квадратов в последовательность $1,5,...,a_{n+1}=6a_n-a_{n-1},...$ В любом случае их конечное число. Было недавно с пятерками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение четвёртой степени
Сообщение28.05.2022, 07:55 
Заслуженный участник


20/12/10
9063
mathematician123 в сообщении #1555666 писал(а):
Известно ли науке решение уравнения $x^2+1 = 2y^4$ в целых числах?
Да, это Ljunggren's equation. См., например, в книге Mordell L.J. Diophantine equations (AP, 1969).

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение четвёртой степени
Сообщение28.05.2022, 09:56 


21/04/22
356
nnosipov в сообщении #1555694 писал(а):
Да, это Ljunggren's equation.

Спасибо!

Удалось также найти элементарное решение: An Elementary Proof for Ljunggren Equation, Zhengjun Cao,Lihua Liu. Но у меня возникли трудности с пониманием этого доказательства, не уверен, что оно вообще верное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение четвёртой степени
Сообщение28.05.2022, 10:13 
Заслуженный участник


20/12/10
9063
mathematician123 в сообщении #1555704 писал(а):
не уверен, что оно вообще верное
Корректного элементарного доказательства мне не известно. А некорректные встречались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение четвёртой степени
Сообщение29.05.2022, 11:45 


21/04/22
356
mathematician123 в сообщении #1555704 писал(а):
Но у меня возникли трудности с пониманием этого доказательства, не уверен, что оно вообще верное.

Ошибка на второй странице. Из $b^2+c^2 = 169k^2$ делается вывод, что $\frac{b}{c} = \frac{5}{12}$ или $\frac{b}{c} = \frac{12}{5}$. Но это неверно. $\frac{b}{c}$ может быть сколь угодно большим или малым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение четвёртой степени
Сообщение29.05.2022, 12:10 
Заслуженный участник


20/12/10
9063
Ожидаемо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group