2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Догонялки
Сообщение24.05.2022, 20:24 


21/07/20
229
Первая частица со скоростью $\upsilon$ догоняет вторую, скорость которой u, таким образом, что вектор скорости первой частицы составляет с линией, соединяющей обе частицы угол $\alpha$ . Определите угол $\beta$ между вектором скорости второй частицы и линией, соединяющей обе частицы, при котором перемещение второй частицы до момента встречи минимально.
(задачку принесли студенты с олимпиады, олимпиада уже закончилась, итоги подведены).

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение25.05.2022, 00:24 


30/01/18
610
Скорее всего я не правильно понял эту задачу и не понял её олимпиадности, но дам свой ответ :-)

$\sin\beta=\frac{v}{u}\sin\alpha$

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение25.05.2022, 17:46 


21/07/20
229
rascas
Видимо, Вы предполагали, что векторы скорости постоянны. Но этого нет в условии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение25.05.2022, 18:34 


05/09/16
11690
Ignatovich в сообщении #1555342 писал(а):
при котором перемещение второй частицы до момента встречи минимально.

Перемещение это расстояние между положениями второй точки в начале задачи и в конце (в момент встречи). Т.е. минимизировать надо не пройденный путь, а именно перемещение, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение25.05.2022, 18:42 


21/07/20
229
wrest
Верно - так написано в условии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение26.05.2022, 02:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10844
Crna Gora
Вектор скорости второй частицы должен быть направлен противоположно вектору скорости первой частицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение26.05.2022, 11:50 


05/09/16
11690
svv
Наверное должно быть ещё какое-то условие, отвечающее за то, что частицы в принципе встретятся. При прямом угле $\alpha$ и равных скоростях, если $\beta$ тоже будет прямой, частицы, очевидно, не встретятся вообще, хотя при других $\beta$ (например равном 180, то есть направленным на первую частицу) встретятся...

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение26.05.2022, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10844
Crna Gora
Да, надо потребовать, чтобы первая частица «хоть как-то пыталась догнать» вторую, то есть угол $\alpha$ между вектором скорости первой частицы и вектором от первой частицы ко второй (а не просто линией) — острый.
Ещё я бы оговорил, что мы ищем угол $\beta$, при котором нужное перемещение минимально, при постоянном начальном расстоянии $r$ между частицами. А то мало ли... Хотя это $r$ в ответ и не входит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение26.05.2022, 13:45 


05/09/16
11690
svv в сообщении #1555542 писал(а):
Да, надо потребовать, чтобы первая частица действительно «хоть как-то пыталась догнать» вторую, то есть угол $\alpha$ между вектором скорости первой частицы и вектором от первой частицы ко второй (а не просто линией) — острый.

Для встречи это необязательно же. Скорость увеличения асстояния между частицами, если скорость второй частицы ноль, равна скорости первой на косинус её угла то есть необходимое условие встречи это что-то вроде $u>v \cos (\pi- \alpha)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение26.05.2022, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10844
Crna Gora
Хорошо, тогда я просто оговорюсь, что решал задачу в таком предположении.
$\mathbf v_1\cdot(\mathbf r_2-\mathbf r_1)>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение26.05.2022, 21:49 


21/07/20
229
svv в сообщении #1555542 писал(а):
Да, надо потребовать, чтобы первая частица «хоть как-то пыталась догнать» вторую, то есть угол $\alpha$ между вектором скорости первой частицы и вектором от первой частицы ко второй (а не просто линией) — острый.

Мне кажется, что следует рассматривать случай, когда угол между векторами скорости первой и второй частицы является острым - это в большей степени соответствует глаголу "догоняет".

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение26.05.2022, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10844
Crna Gora
Но тогда я не смогу направить вектор скорости второй частицы противоположно вектору скорости первой — а именно при таком угле достигается минимум перемещения.

Впрочем, основная часть решения (в предположении $\mathbf v_1\cdot(\mathbf r_2-\mathbf r_1)>0$) всё равно выживает. Результат такой, что перемещение второй частицы тем меньше, чем больше модуль относительной скорости частиц. А дальше уже можно накладывать различные дополнительные ограничения на векторы скорости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение27.05.2022, 19:39 


05/09/16
11690
svv
Похоже что вы правы.
Причем, в этом в вашем случае встреча происходит на прямой, изначально соединявшей точки. Или по крайней мере предел положений туда сходится. А сходится он (при вашем методе) в одно и тоже место, а именно в то, в котором точки встречаются если просто движутся навстречу друг другу (то есть оба угла ноль).
Так что минимум перемещения зависит только от соотношения скоростей и находится, соответственно, на расстоянии $\dfrac{u}{u+v}$ от точки $u$ (в предположении единичной длины начального расстояния)
Доказательств нету, все в экселе, по графикам (численный эксперимент). Надеюсь что с квадрантами арктангенсаи и всем таким прочим разобрался нормально, по крайней мере траектории похожи на правду.
Например, вот траектория для $v=2u; \alpha=65^{\circ};L=10$ (расстояние 10)

Изображение
Синяя точка $v$, оранжевая соответственно $u$
Шаг построения довольно грубый, так что кажется что спирали пересекаются раньше чем надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение27.05.2022, 20:40 


05/09/16
11690
Ну и вдогонку, для $\alpha=80^{\circ}$
Изображение
Подозреваю также, что соединяющая точки прямая вращается вокруг точки встречи.

Остаются случаи когда противоположное движение не даёт результата ($\alpha>90^{\circ}$), видимо их надо рассматривать отдельно, потому что точки при некоторых углах $\beta$ все-таки встречаются, так что и минимум перемещения существует.

Например для $v=2u;\alpha=90^{\circ}; \beta=0^{\circ}$ (бету я отсчитываю в другую сторону для своего удобства, ноль это направление на первую точку) картинка такая
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Догонялки
Сообщение27.05.2022, 22:47 


21/07/20
229
wrest
Спасибо за картинки, их хотелось увидеть :!: . Они согласуются с аналитическими выражениями для модулей векторов перемещения частиц за время их движения до встречи:
$\l_2$=$\frac{L_0}{\sqrt{1+(\upsilon/u)^2-2(\upsilon/u)\cos(\alpha-\beta)}}$.
Величина $L_0$ - расстояние между частицами в начальный момент. Углы измерены между вектором соответствующей скорости и вектором, проведенным от частицы 1 к частице 2.
Модуль вектора перемещения первой частицы:
$l_1=l_2(\upsilon/u)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group