2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение24.05.2022, 17:29 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
del

-- 24.05.2022, 18:13 --

mathematician123 в сообщении #1555331 писал(а):
1) За исключением конечного перебора, $M(2pq) \le 3$ в случае, когда $p > 5$ и $q > 5$.
2) За исключением конечного перебора, $M(2pq) \le 3$ в случае, когда $p = 5$ и $q$ даёт отличный от 11 остаток от деления на 12.
3) $M(2 \cdot 5 \cdot 7) \le 3$


Ещё была попытка доказать, что $M(2pq) \le 3$ всегда для $gcd(p-1, q-1) > 2$ всегда (без необходимости конечных переборов).
Но похоже, она прикрылась этим:
mathematician123 в сообщении #1555328 писал(а):
4) $n = 1$. А вот разбор этого случая я не нашел. В этом случае $2^{p-4} \pm 1 = a^{q-1}b$. Но этот случай проверяется конечным перебором, поэтому доказательство остаётся верным.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение24.05.2022, 18:45 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
mathematician123 в сообщении #1555328 писал(а):
4) $n = 1$. А вот разбор этого случая я не нашел. В этом случае $2^{p-4} \pm 1 = a^{q-1}b$. Но этот случай проверяется конечным перебором, поэтому доказательство остаётся верным.


Подставим выражение для $a^{q-1}b$ в уравнение $2^{p-2} a^{q-1}b = B^2 -1 $ (1):
$2^{p-2} (2^{p-4} \pm 1) = B^2 -1$

Запишем так:
$2^{p-3} (2^{p-3} \pm 2) = (c^{(p-1)/2} d^{(q-1)/2} -1)(c^{(p-1)/2} d^{(q-1)/2} +1)$

Тогда (с учетом того, что справа и слева произведение последовательных четных чисел).
$2^{p-3} = (c^{(p-1)/2} d^{(q-1)/2} \pm 1)$

Тогда $gcd((p-1)/2, (q-1)/2) >1$ опять запрещается теоремой Михайлэску.

То есть утверждение
$M(2pq) \le 3$ при $gcd((p-1)/2, (q-1)/2) >1$ опять остаётся доказанным без переборов.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение24.05.2022, 22:12 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Yadryara в сообщении #1555330 писал(а):
Скажите пожалуйста без углубления в детали, что именно считаете доказанным?

(иллюстрация на примерах)

1. $p=5, q=7$
Доказано, что $M(2 \cdot 5 \cdot 7) \le 3$
Более того, доказательство, что для проверки $M(2 \cdot p \cdot q) \le 3$ требуется конечное число проверок, распространено на случаи:
$p=5, q=6n+1$

2. $p=5, q=11$
а) $gcd ((5-1)/2, (11-1)/2) = 1$
б) и $ 11 \mod 12 = 11$
Значит
а) $M(2 \cdot 5 \cdot 7) \le 3$ не доказано.
б) более того: конечных проверок, что $M(2 \cdot 5 \cdot 11) \le 3$ (пока) не предъявлено.

3. $p=5, q=13$
а) $gcd ((5-1)/2, (13-1)/2) = 2 > 1$, значит $M(2 \cdot 5 \cdot 13) \le 3$

4. $p=5, q=17$
а) $gcd ((5-1)/2, (17-1)/2) = 2 > 1$, значит $M(2 \cdot 5 \cdot 17) \le 3$

7. $p=5, q=19$
а) $gcd ((5-1)/2, (19-1)/2) = 1$,
б) $19 \mod 6 = 1$
значит требуется конечное число проверок, что $M(2 \cdot 5 \cdot 19) \le 3$

Для $p \geqslant 7$ ещё проще:

8) $p=7, q=11$
$gcd ((7-1)/2, (11-1)/2) = 1$
требуется конечное число проверок, что $M(2 \cdot 7 \cdot 11) \le 3$

9) $p=7, q=13$
$gcd ((7-1)/2, (13-1)/2) = 3$, значит $M(2 \cdot 7 \cdot 13) \le 3$

И т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение24.05.2022, 22:44 


21/04/22
356
Продолжаю заниматься сокращением перебора.
EUgeneUS в сообщении #1555336 писал(а):
Тогда (с учетом того, что справа и слева произведение последовательных четных чисел).
$2^{p-3} = (c^{(p-1)/2} d^{(q-1)/2} \pm 1)$


Рассмотрим это уравнение подробнее. Если $p < q$, то левая часть уравнения меньше правой. Пусть $p > q$. Тогда, если $c \ge 5$, то левая часть уравнения меньше правой. Поэтому единственная возможность - это $c = 3$. Тогда $$2^{p-3} -1 = 3^{(p-1)/2} d^{(q-1)/2}$$. Случай с $+1$ невозможен по модулю 3.

-- 24.05.2022, 22:55 --

Лемма. Если $2^x-1$ делится на $3^y$, то $x$ делится на $2 \cdot 3^{y-1}$

Применяя эту лемму получаем, что $p-3$ делится на $2 \cdot 3^{\frac{p-3}{2}}$, что невозможно при достаточно большом $q$.

-- 24.05.2022, 22:59 --

mathematician123 в сообщении #1555331 писал(а):
Применяя эту лемму, получаем, что $\frac{q-1}{2}$ делится на $\frac{q-3}{2} - 2 = \frac{q-7}{2}$, что невозможно при $q > 13$.


Здесь я неверно применяю лемму. Правильно так: применяя эту лемму, получаем, что $\frac{q-1}{2}$ делится на $2^{\frac{q-7}{2}}$, что невозможно при достаточно большом $q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 05:12 
Аватара пользователя


29/04/13
8067
Богородский
EUgeneUS в сообщении #1555352 писал(а):
Доказано, что $M(2 \cdot 5 \cdot 7) \le 3$
EUgeneUS в сообщении #1555352 писал(а):
Значит
а) $M(2 \cdot 5 \cdot 7) \le 3$ не доказано.

Опять опечатка? Когда же это прекратится-то. И я ведь ещё не на все ошибки указал.

$M(2 \cdot 5 \cdot 11) \leqslant 3$ не доказано ?

$M(2 \cdot 5 \cdot 7) = 3$ доказано ?

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 06:43 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Yadryara

(Оффтоп)

Yadryara в сообщении #1555379 писал(а):
Опять опечатка?

Конечно, Вы же видите, к каким $p,q$ относится тот и другой вывод.
Yadryara в сообщении #1555379 писал(а):
Когда же это прекратится-то.

Наверное, никогда.
Yadryara в сообщении #1555379 писал(а):
И я ведь ещё не на все ошибки указал.

Указывать на опечатки в тексте, который в офф-топике - смысла нет никакого. Этот текст приведен Вам для иллюстрации. Нашли там опечатки - вот и хорошо, разобрались значит.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 10:29 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
Свел случай $p=5, q > 5, gcd(2, (q-1)/2) =1$ к конечному перебору.
В этом случае возможно только $a=11$.
Для этого потребовалось три факта, для которых у меня (пока) нет доказательства :wink: :
1. доказательство одного из них точно существует.
2. два других установлены численным моделированием, и скорее всего тоже доказываются.
подробности вечером.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 10:38 


21/04/22
356
Удалось убрать перебор ещё в одном месте. Если всё верно, то $M(2pq) \le 3$ при $p > 5$ и $q > 5$ верно без необходимости какого-либо перебора! Чтобы всё было в одном месте: в сообщениях https://dxdy.ru/post1555331.html#p1555331 и https://dxdy.ru/post1555356.html#p1555356 разбираются два других места с перебором (если кто-то захочет проверить: начинать чтение нужно со второго сообщения, так как там написано об ошибке в первом).
EUgeneUS в сообщении #1555271 писал(а):
г) Случай $a=3$ проверяется конечным перебором $c$ и $d$ (с учетом перестановки $p \leftrightarrow q$ слева).

Вернёмся немного назад к равенству:
EUgeneUS в сообщении #1555271 писал(а):
$[2^{(p-3)/2}a^{(q-1)/2}]^2 - 1 = c^ {(s-1)/2}d^{(t-1)/2}$


Подставим $a = 3$ и получим
$$(2^{\frac{p-3}{2}} \cdot 3^{\frac{q-1}{2}} + 1)(2^{\frac{p-3}{2}} \cdot 3^{\frac{q-1}{2}} - 1) = c^{\frac{s-1}{2}}d^{\frac{t-1}{2}}$$
Пусть для определённости $q > p$. Так как сомножители в левой части взаимнопросты и отличны от единицы, то один из них равен $d^{\frac{t-1}{2}}$, а второй - $c^{\frac{s-1}{2}}$. Тогда
$$2^{\frac{p-3}{2}} \cdot 3^{\frac{q-1}{2}} \pm 1 = u^{\frac{q-1}{2}}$$, где $u = c$ или $u = d$ в зависимости от того, какое из этих чисел возводится в степень $\frac{q-1}{2}$ (также будет ещё одно аналогичное уравнение, где $p$ и $q$ переставлены местами). Заметим, что при $u \ge 7$ левая часть меньше правой. Поэтому единственый вариант, который надо рассмотреть - это $u = 5$. Тогда получим четыре уравнения.
$$2^{\frac{p-3}{2}} \cdot 3^{\frac{q-1}{2}} \pm 1 = 5^{\frac{q-1}{2}}$$
$$2^{\frac{q-3}{2}} \cdot 3^{\frac{p-1}{2}} \pm 1 = 5^{\frac{q-1}{2}}$$
Со знаком минус эти уравнения неразрешимы по модулю 8. Со знаком плюс эти уравнения можно решить, применив леммы, аналалогичные леммам из разборов других случаев: чтобы $5^{\frac{q-1}{2}}-1$ делилось на большую степень двойки или тройки, $\frac{q-1}{2}$ должно быть слишком большим, что невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 11:15 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
mathematician123 в сообщении #1555399 писал(а):
Пусть для определённости $q > p$

$p$ "прибито гвоздями к двойке. Поэтому нужно рассматривать оба случая: $q< p$ тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 11:36 


21/04/22
356
EUgeneUS в сообщении #1555402 писал(а):
$p$ "прибито гвоздями к двойке. Поэтому нужно рассматривать оба случая: $q< p$ тоже.

Я в скобках дальше написал пояснение.
mathematician123 в сообщении #1555399 писал(а):
(также будет ещё одно аналогичное уравнение, где $p$ и $q$ переставлены местами)


-- 25.05.2022, 11:43 --

mathematician123 в сообщении #1555399 писал(а):
Тогда
$$2^{\frac{p-3}{2}} \cdot 3^{\frac{q-1}{2}} \pm 1 = u^{\frac{q-1}{2}}$$, где $u = c$ или $u = d$ в зависимости от того, какое из этих чисел возводится в степень $\frac{q-1}{2}$


Возможно так будет понятнее: в правой части уравнения берётся $u^{(p-1)/2}$, если $p > q$ и берётся $u^{(q-1)/2}$, если $q > p$. В первом случае рассуждения такие же как и во втором с точностью до замены $p$ и $q$ друг на друга.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 11:55 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
mathematician123
ок, понятно.
Кстати, у меня похоже сложилось доказательство $M(2pq) \le 3$ без переборов для случая $p=5$. Вечером напишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 14:30 
Заслуженный участник


27/06/08
4062
Волгоград
Эту тему обнаружил случайно :shock:
В "Пентадекатлоне", где она была анонсирована, нет ни ссылки, ни названия, ни даже раздела форума!
Вот я и жду, когда она появится. А она, оказывается уже, есть.

Пока осилил только первый пост.
Но уже в нем есть и опечатки, и какие-то странные выкладки :-(
Правда, насколько я понимаю, это не влияет на окончательный вывод. Но в чем тогда смысл?

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 14:43 


21/04/22
356
EUgeneUS
Надеюсь, что Ваше доказательство окажется верным. Я вчера писал, что у меня есть идея для случая $p = 5$, но возникли трудности. Это последний случай который надо рассмотреть для доказательства $M(2pq) \le 3$ для любых различных нечётных простых $p \ge 5$ и $q \ge 5$.
EUgeneUS в сообщении #1555320 писал(а):
$a, d$ - простые. Так что один случай.

Возможны случаи $a = q$ или $d = q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 15:22 
Аватара пользователя


11/12/16
13833
уездный город Н
mathematician123 в сообщении #1555432 писал(а):
Надеюсь, что Ваше доказательство окажется верным.


Про отсутствие конечных переборов было излишне оптимистичное заявление.
Там понадобится перебор для исключения $a=3$. Но как понимаю, Вы с таким успешно справляетесь. :-)

-- 25.05.2022, 15:24 --

VAL в сообщении #1555431 писал(а):
Эту тему обнаружил случайно :shock:


Вот жеж :-( А я жду и удивляюсь - чего же Вы не приходите...
Приношу извинения за отсутствие анонса.

-- 25.05.2022, 15:25 --

VAL в сообщении #1555431 писал(а):
Пока осилил только первый пост.
Но уже в нем есть и опечатки, и какие-то странные выкладки :-(


Про опечатки - прошу понять и простить. Не смотря на попытки их вычистить, часть осталась :-(
А вот со странными выкладками надо разбираться. Готов отвечать на вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: M(2pq) <= 3. Доказательство для отдельных случаев
Сообщение25.05.2022, 16:38 
Аватара пользователя


29/04/13
8067
Богородский
VAL в сообщении #1555431 писал(а):
Эту тему обнаружил случайно :shock:
В "Пентадекатлоне", где она была анонсирована, нет ни ссылки, ни названия, ни даже раздела форума!

Ну Вы даёте!! 14-й год на форуме. Неужели Вы не пользуетесь кнопкой "Активные темы" ?

Тема появилась примерно через час после анонса. И я тоже недоумевал почему Вы не комментируете. И ведь ссылку на стартовый пост темы я давал(пост, где про Дзюбанова).

VAL в сообщении #1555431 писал(а):
нет ни ссылки, ни названия, ни даже раздела форума!

Ну так и не нужны ни ссылка, ни название, ни раздел.

"Активные темы" позволяют сразу увидеть то что нужно. В последние годы активность на форуме весьма низка и потому на одной-единственной странице помещаются все-все темы форума, где был хоть один новый пост за последние 5-6 дней, а то и за неделю.

Так что у меня никаких претензий к автору темы в этом аспекте. Ну невозможно её не увидеть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 76 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group