Предел функции

[Vladimir Pliassov]

Цитата:

функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ при стремлении $x$ к $a$ (или в точке $a$), если для каждого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что

$$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$$

лишь только

$$\vert x-a\vert<\delta$$

Фихтенгольц, https://studfile.net/preview/4422204/page:13/, стр. 116, вверху

Можно ли сказать, что

функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, если для каждого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что

отображение $\delta$-окрестности $a$ попадает внутрь $\varepsilon$-окрестности $A:$

$$A-\varepsilon<f(a-\delta)<f(a+\delta)<A+\varepsilon$$

(при возрастающей функции) или

$$A-\varepsilon<f(a+\delta)<f(a-\delta)<A+\varepsilon$$

(при убывающей функции), --

(откуда

$$\vert f(a+\delta)-f(a-\delta)\vert <2\varepsilon$$

)?

[Otta]

Все было бы хорошо, если бы функции были только монотонными.
Но они не.

[Vladimir Pliassov]

То есть, когда функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, отображение $\delta$-окрестности $a$ не всегда попадает внутрь $\varepsilon$-окрестности $A?$

[Otta]

Vladimir Pliassov в сообщении #1555297 писал(а):

То есть, когда функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, отображение $\delta$-окрестности $a$ не всегда попадает внутрь $\varepsilon$-окрестности $A?$

В таких фразах нельзя пропускать кванторы. Они, фразы, теряют смысл.
Если взять какое угодно эпсилон (положит.), то при каких-то дельта образ окрестности целиком лежит в $\varepsilon$-окрестности $A$, при каких-то не целиком, но нам и не надо. Надо, чтобы при хотя бы одном - лежал целиком.

Вы говорите, что для этого достаточно того, чтобы образы крайних точек дельта-окрестности $a$ попадали в $\varepsilon$-окрестность $A$. Для монотонных функций это действительно так. Для немонотонных - недостаточно.

А что Вы хотели написать, собственно?

И окрестность точки $a$ в определении предела должна быть проколотой, это важно. Посмотрите на определение, которое Вы процитировали, у Вас не так. Вряд ли так у Фихтенгольца.

[Vladimir Pliassov]

Otta в сообщении #1555298 писал(а):

А что Вы хотели написать, собственно?

Я просто хочу разобраться, что такое предел функции (в том, что такое предел последовательности, как будто разобрался).

Otta в сообщении #1555298 писал(а):

В таких фразах нельзя пропускать кванторы. Они, фразы, теряют смысл.

Наверное, лучше так:

бывают случаи, когда при том, что функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, не найдется такого $\delta$, чтобы образ $\delta$-окрестности $a$ целиком попал внутрь $\varepsilon$-окрестности $A$?

Но частично -- при надлежащем выборе $\delta$ -- он туда в любом случае попадет (если функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$)?

А какие это случаи (когда при том, что функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, не найдется такого $\delta$, чтобы образ $\delta$-окрестности $a$ целиком попал внутрь $\varepsilon$-окрестности $A$)?

Otta в сообщении #1555298 писал(а):

И окрестность точки $a$ в определении предела должна быть проколотой

Потому бывает так, что точка $a$ не входит в область определения функции $f(x)$ (тогда и точка $A$ не будет входить в область значений функции $f(x)$)?

Otta в сообщении #1555298 писал(а):

Вы говорите, что для этого

то есть для того, чтобы функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$?

Otta в сообщении #1555298 писал(а):

достаточно того, чтобы образы крайних точек дельта-окрестности $a$ попадали в $\varepsilon$-окрестность $A$. Для монотонных функций это действительно так. Для немонотонных - недостаточно.

Имеется в виду случай, когда $A$ является точкой экстремума функции? Но если взять, например, параболу, ось которой проходит через $a$, а касательная к вершине через $A$, то $f(a+\delta)=f(a-\delta),$ и это число может находиться насколько угодно близко к $A$ (при достаточном приближении $\delta$ к $0$), а $f(x)$ при $a-\delta<x<a+\delta$ -- еще ближе, то есть в любой $\varepsilon$-окрестности $A$.

[bot]

Vladimir Pliassov в сообщении #1555304 писал(а):

Я просто хочу разобраться, что такое предел функции

А экстремумы тут при чём?

Vladimir Pliassov в сообщении #1555304 писал(а):

Потому бывает так, что точка $a$ не входит в область определения функции $f(x)$ (тогда и точка $A$ не будет входить в область значений функции $f(x)$)?

Рассмотрите $\lim\limits_{x\to 0} x\sin\frac1x$
Окрестность должна быть проколотой. Иначе Вы просто не сумеете отделить предел функции в точке от её значения в этой точке.
Короче, определение предела таково, что в нём нет лишних слов.

[Vladimir Pliassov]

bot в сообщении #1555337 писал(а):

Рассмотрите $\lim\limits_{x\to 0} x\sin\frac1x$
Проколотость окрестности существенно хотя бы потому, что иначе Вы просто не сумеете отделить предел функции в точке от её значения в этой точке и не сможете отличить непрерывную функцию от разрывной.

Спасибо! Функция $\lim\limits_{x\to 0} x\sin\frac1x$ имеет предел в точке $x=0$ и не имеет значения в этой точке, то есть она разрывная?

Цитата:

Окрестностное определение предела по Коши

Значение $A$ называется пределом (предельным значением) функции $f(x)$ в точке $x_0$, если для любой окрестности $O(A)$ точки $A$ существует проколотая окрестность $\dot {O}(x_{0})$ точки $x_{0}$ такая, что образ этой окрестности $f{\big (\dot {O}(x_{0})\big )}$ лежит в $O(A).$

Википедия

Это то самое, о чем я спросил в первоначальном сообщении, правда, я не думал о том, что окрестность $\dot {O}(x_{0})$ точки $x_{0}$ должна быть проколота.

[Otta]

Vladimir Pliassov в сообщении #1555339 писал(а):

Это то самое, о чем я спросил в первоначальном сообщении, правда, я не думал о том, что окрестность $\dot {O}(x_{0})$ точки $x_{0}$ должна быть проколота.

О чем Вы спросили в первом сообщении? Верно ли Вы только что процитировали определение предела? Да, верно.

[Vladimir Pliassov]

Otta в сообщении #1555340 писал(а):

О чем Вы спросили в первом сообщении?

Я спросил: "Можно ли сказать, что функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, если для каждого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что отображение $\delta$-окрестности $a$ попадает внутрь $\varepsilon$-окрестности $A?$"

Под отображением я имел в виду образ.

[Vladimir Pliassov]

bot в сообщении #1555337 писал(а):

А экстремумы тут при чём?

Наличие экстремумов, как я понимаю, является непременной особенностью немонотонных функций:

Otta в сообщении #1555298 писал(а):

Вы говорите, что для этого

то есть для того, чтобы функция $f(x)$ имела пределом число $A$ в точке $a$?

Otta в сообщении #1555298 писал(а):

достаточно того, чтобы образы крайних точек дельта-окрестности $a$ попадали в $\varepsilon$-окрестность $A$. Для монотонных функций это действительно так. Для немонотонных - недостаточно.

Но, может быть, здесь имеются в виду не экстремумы, а что-то другое?

[Dan B-Yallay]

Vladimir Pliassov в сообщении #1555347 писал(а):

Наличие экстремумов, как я понимаю, является непременной особенностью немонотонных функций:

Функция Дирихле немонотонна. Есть ли у неё экстремумы?

[Otta]

Vladimir Pliassov в сообщении #1555341 писал(а):

Я спросил "Можно ли сказать, что функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, если для каждого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что отображение образ проколотой $\delta$-окрестности $a$ попадает внутрь $\varepsilon$-окрестности $A?$"

С внесенными поправками - можно. Это определение предела. Вопрос-то в чем?

О чем тема?

[Vladimir Pliassov]

Dan B-Yallay в сообщении #1555350 писал(а):

Функция Дирихле немонотонна. Есть ли у неё екстремумы?

Цитата:

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Википедия

В соответствии с этим определением у функции Дирихле два экстремума?

Или у нее столько же точек минимума, сколько иррациональных чисел, и столько же точек максимума, сколько рациональных чисел?

Вероятно, ни один из этих ответов не верен.

Otta в сообщении #1555351 писал(а):

С внесенными поправками - можно. Это определение предела. Вопрос-то в чем?

Основной вопрос темы был именно в этом, и ответ на него я уже получил, спасибо!

Но возникли новые вопросы.

[Dan B-Yallay]

Vladimir Pliassov в сообщении #1555355 писал(а):

В соответствии с этим определением у функции Дирихле два экстремума?

А что понимается под максимальным или минимальным значением? Это немного важно

[Arks]

Vladimir Pliassov в сообщении #1555355 писал(а):

Вероятно, ни один из этих ответов не верен.

Оба верны, если под точкой локального максимума понимать такую, для которой верно, что в любой малой окрестности все остальные значения функции не больше, чем в этой точке