2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел функции
Сообщение23.05.2022, 23:09 


21/04/19
1183
Цитата:
функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ при стремлении $x$ к $a$ (или в точке $a$), если для каждого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что

$$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$$
лишь только

$$\vert x-a\vert<\delta$$


Фихтенгольц, https://studfile.net/preview/4422204/page:13/, стр. 116, вверху

Можно ли сказать, что

функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, если для каждого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что

отображение $\delta$-окрестности $a$ попадает внутрь $\varepsilon$-окрестности $A:$

$$A-\varepsilon<f(a-\delta)<f(a+\delta)<A+\varepsilon$$
(при возрастающей функции) или

$$A-\varepsilon<f(a+\delta)<f(a-\delta)<A+\varepsilon$$
(при убывающей функции), --

(откуда

$$\vert f(a+\delta)-f(a-\delta)\vert <2\varepsilon$$
)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение23.05.2022, 23:51 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Все было бы хорошо, если бы функции были только монотонными.
Но они не.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 00:03 


21/04/19
1183
То есть, когда функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, отображение $\delta$-окрестности $a$ не всегда попадает внутрь $\varepsilon$-окрестности $A?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 00:20 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Vladimir Pliassov в сообщении #1555297 писал(а):
То есть, когда функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, отображение $\delta$-окрестности $a$ не всегда попадает внутрь $\varepsilon$-окрестности $A?$

В таких фразах нельзя пропускать кванторы. Они, фразы, теряют смысл.
Если взять какое угодно эпсилон (положит.), то при каких-то дельта образ окрестности целиком лежит в $\varepsilon$-окрестности $A$, при каких-то не целиком, но нам и не надо. Надо, чтобы при хотя бы одном - лежал целиком.

Вы говорите, что для этого достаточно того, чтобы образы крайних точек дельта-окрестности $a$ попадали в $\varepsilon$-окрестность $A$. Для монотонных функций это действительно так. Для немонотонных - недостаточно.

А что Вы хотели написать, собственно?

И окрестность точки $a$ в определении предела должна быть проколотой, это важно. Посмотрите на определение, которое Вы процитировали, у Вас не так. Вряд ли так у Фихтенгольца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 03:14 


21/04/19
1183
Otta в сообщении #1555298 писал(а):
А что Вы хотели написать, собственно?

Я просто хочу разобраться, что такое предел функции (в том, что такое предел последовательности, как будто разобрался).

Otta в сообщении #1555298 писал(а):
В таких фразах нельзя пропускать кванторы. Они, фразы, теряют смысл.

Наверное, лучше так:

бывают случаи, когда при том, что функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, не найдется такого $\delta$, чтобы образ $\delta$-окрестности $a$ целиком попал внутрь $\varepsilon$-окрестности $A$?

Но частично -- при надлежащем выборе $\delta$ -- он туда в любом случае попадет (если функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$)?

А какие это случаи (когда при том, что функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, не найдется такого $\delta$, чтобы образ $\delta$-окрестности $a$ целиком попал внутрь $\varepsilon$-окрестности $A$)?

Otta в сообщении #1555298 писал(а):
И окрестность точки $a$ в определении предела должна быть проколотой

Потому бывает так, что точка $a$ не входит в область определения функции $f(x)$ (тогда и точка $A$ не будет входить в область значений функции $f(x)$)?

Otta в сообщении #1555298 писал(а):
Вы говорите, что для этого

то есть для того, чтобы функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$?

Otta в сообщении #1555298 писал(а):
достаточно того, чтобы образы крайних точек дельта-окрестности $a$ попадали в $\varepsilon$-окрестность $A$. Для монотонных функций это действительно так. Для немонотонных - недостаточно.

Имеется в виду случай, когда $A$ является точкой экстремума функции? Но если взять, например, параболу, ось которой проходит через $a$, а касательная к вершине через $A$, то $f(a+\delta)=f(a-\delta),$ и это число может находиться насколько угодно близко к $A$ (при достаточном приближении $\delta$ к $0$), а $f(x)$ при $a-\delta<x<a+\delta$ -- еще ближе, то есть в любой $\varepsilon$-окрестности $A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Vladimir Pliassov в сообщении #1555304 писал(а):
Я просто хочу разобраться, что такое предел функции

А экстремумы тут при чём?
Vladimir Pliassov в сообщении #1555304 писал(а):
Потому бывает так, что точка $a$ не входит в область определения функции $f(x)$ (тогда и точка $A$ не будет входить в область значений функции $f(x)$)?

Рассмотрите $\lim\limits_{x\to 0} x\sin\frac1x$
Окрестность должна быть проколотой. Иначе Вы просто не сумеете отделить предел функции в точке от её значения в этой точке.
Короче, определение предела таково, что в нём нет лишних слов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 19:55 


21/04/19
1183
bot в сообщении #1555337 писал(а):
Рассмотрите $\lim\limits_{x\to 0} x\sin\frac1x$
Проколотость окрестности существенно хотя бы потому, что иначе Вы просто не сумеете отделить предел функции в точке от её значения в этой точке и не сможете отличить непрерывную функцию от разрывной.

Спасибо! Функция $\lim\limits_{x\to 0} x\sin\frac1x$ имеет предел в точке $x=0$ и не имеет значения в этой точке, то есть она разрывная?

Цитата:
Окрестностное определение предела по Коши

Значение $A$ называется пределом (предельным значением) функции $f(x)$ в точке $x_0$, если для любой окрестности $O(A)$ точки $A$ существует проколотая окрестность $\dot {O}(x_{0})$ точки $x_{0}$ такая, что образ этой окрестности $f{\big (\dot {O}(x_{0})\big )}$ лежит в $O(A).$

Википедия

Это то самое, о чем я спросил в первоначальном сообщении, правда, я не думал о том, что окрестность $\dot {O}(x_{0})$ точки $x_{0}$ должна быть проколота.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 20:01 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Vladimir Pliassov в сообщении #1555339 писал(а):
Это то самое, о чем я спросил в первоначальном сообщении, правда, я не думал о том, что окрестность $\dot {O}(x_{0})$ точки $x_{0}$ должна быть проколота.

О чем Вы спросили в первом сообщении? Верно ли Вы только что процитировали определение предела? Да, верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 20:12 


21/04/19
1183
Otta в сообщении #1555340 писал(а):
О чем Вы спросили в первом сообщении?

Я спросил: "Можно ли сказать, что функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, если для каждого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что отображение $\delta$-окрестности $a$ попадает внутрь $\varepsilon$-окрестности $A?$"

Под отображением я имел в виду образ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 22:00 


21/04/19
1183
bot в сообщении #1555337 писал(а):
А экстремумы тут при чём?

Наличие экстремумов, как я понимаю, является непременной особенностью немонотонных функций:

Otta в сообщении #1555298 писал(а):
Вы говорите, что для этого

то есть для того, чтобы функция $f(x)$ имела пределом число $A$ в точке $a$?

Otta в сообщении #1555298 писал(а):
достаточно того, чтобы образы крайних точек дельта-окрестности $a$ попадали в $\varepsilon$-окрестность $A$. Для монотонных функций это действительно так. Для немонотонных - недостаточно.

Но, может быть, здесь имеются в виду не экстремумы, а что-то другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Vladimir Pliassov в сообщении #1555347 писал(а):
Наличие экстремумов, как я понимаю, является непременной особенностью немонотонных функций:
Функция Дирихле немонотонна. Есть ли у неё экстремумы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 22:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Vladimir Pliassov в сообщении #1555341 писал(а):
Я спросил "Можно ли сказать, что функция $f(x)$ имеет пределом число $A$ в точке $a$, если для каждого числа $\varepsilon>0$ найдется такое число $\delta>0$, что отображение образ проколотой $\delta$-окрестности $a$ попадает внутрь $\varepsilon$-окрестности $A?$"

С внесенными поправками - можно. Это определение предела. Вопрос-то в чем?

О чем тема?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 22:39 


21/04/19
1183
Dan B-Yallay в сообщении #1555350 писал(а):
Функция Дирихле немонотонна. Есть ли у неё екстремумы?

Цитата:
Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Википедия

В соответствии с этим определением у функции Дирихле два экстремума?

Или у нее столько же точек минимума, сколько иррациональных чисел, и столько же точек максимума, сколько рациональных чисел?

Вероятно, ни один из этих ответов не верен.

Otta в сообщении #1555351 писал(а):
С внесенными поправками - можно. Это определение предела. Вопрос-то в чем?

Основной вопрос темы был именно в этом, и ответ на него я уже получил, спасибо!

Но возникли новые вопросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Vladimir Pliassov в сообщении #1555355 писал(а):
В соответствии с этим определением у функции Дирихле два экстремума?
А что понимается под максимальным или минимальным значением? Это немного важно

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел функции
Сообщение24.05.2022, 22:59 


26/02/22

84
Vladimir Pliassov в сообщении #1555355 писал(а):
Вероятно, ни один из этих ответов не верен.

Оба верны, если под точкой локального максимума понимать такую, для которой верно, что в любой малой окрестности все остальные значения функции не больше, чем в этой точке

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group