Уравнение Максвелла - Поле есть, а заряда нет?

[SNS2D]

Divergence в сообщении #1554514 писал(а):

А как должна выглядеть физическая система зарядов, чтобы порождать поле

$$ {\bf E} (x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y + c z {\bf e}_z. $$

Какой точный смысл вкладывается в вопрос "А как должна выглядеть физическая система зарядов, чтобы порождать поле ..."? Речь идет о системе зарядов, которые создают такое поле (1) во всем $\mathbb{R}^3$ или (2) в некоторой области $D \subset \mathbb{R}^3$? Для случая $a + b + c = 0$ ($a$, $b$ и $c$ --- константы) вариант (1) очевидным образом невозможен (как и для однородного поля), а для второго варианта есть множество различных решений для разных $D$: берем потенциал $\varphi = -(ax^2 + by^2 - (a + b)z^2)/2$ и на эквипотенциальной поверхности (поверхностях) распределяем подходящий поверхностный заряд, определяемый нормальной компонентой поля. Двумерный случай, когда в таких задачах эффективно работает ТФКП, подробно рассмотрен, например, в ФЛФ5, глава 7.

[sergey zhukov]

Divergence
Можно взять любую систему зарядов и затем устремить ее размер к бесконечности, сохраняя плотность заряда. Скажем, заряженная коробка, у которой крышка и дно заряжены положительно, а боковые стенки - отрицательно. В пределе получится всюду бездивергентное электрическое поле вроде вашего, для которого потребуется задать только граничные условия на бесконечности. О зарядах тут уже говорить не нужно. Так я это понимаю.

[novichok2018]

По заголовку некоторое время сдерживался, но не смог устоять и не процитировать Раневскую. Фаина Георгиевна, слово (ж...), которое Вы через одно употребляете, нет в русском литературном языке. Р.: как же так, вот она есть, а слова нету!

[EUgeneUS]

Divergence в сообщении #1554553 писал(а):

Это не важно. Можно во всех формулах использовать $a=a(t)$, $b=b(t)$, $c=c(t)$ и

Нет, это важно. Вихривое поле не является потенциальным, поэтому никакой системой зарядов его создать нельзя.
Перед тем как задаваться вопросом, "какая система зарядов создаёт такое поле" нужно убедиться, что его ротор равен нулю. Что и проделал уважаемый rascas выше. Хотя это предлагалась Вам.

Если поле не падает в ноль на бесконечности, то такое поле следует рассматривать только в ограниченной области. Про это Вам тоже объяснили.

Divergence в сообщении #1554558 писал(а):

Постоянное поле бесконечной плоскости на бесконечности тоже не ноль.

Если с таким полем не бывает сложностей, то глубоко заблуждаетесь.
Возьмем поле двух противоположно (и с одинаковой по модулю поверхностной плотностью) заряженных параллельных плоскостей - бесконечный плоский конденсатор.
а) протащим пробный заряд от одной пластины до другой внутри конденсатора: $U = E d$
б) протащим пробный заряд от одной пластины до другой снаружи конденсатора (через бесконечность): $U = 0$, так как снаружи поля нет.

Случилось страшное - электростатическое поле оказалось не потенциальным

[sergey zhukov]

EUgeneUS в сообщении #1554641 писал(а):

Если поле не падает в ноль на бесконечности, то такое поле следует рассматривать только в ограниченной области.

Я правильно понимаю, что не нулевое электрическое поле на бесконечности в общем никаким законам электродинамики не противоречит? Скажем, пустое пространство всегда можно заполнить бездивергентным электрическим полем с любыми граничными условиями на бесконечности?

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1554646 писал(а):

что не нулевое электрическое поле на бесконечности в общем никаким законам электродинамики не противоречит?

Во-первых, это не физично, так как энергия такого поля будет бесконечной.
Во-вторых, насколько понимаю, дело не в законах\уравнениях электродинамики, а в их решениях. Задача оказывается некорректно поставленной, и возможны всякие "чудеса". Которые нам пытается продемонстрировать ТС.

[sergey zhukov]

Похоже, понятно. Если нам дано некоторое электрическое поле в некоторой конечной области, то граничные условия для реализации этого поля будут зависеть от формы этой области (как сказал SNS2D). Но если устремить размер области к бесконечности, то возникает проблема неоднозначности: граничные условия для разных областей в пределе их бесконечного увеличения будут получаться разными. Т.е. граничные условия на бесконечности для данного поля не однозначны и зависят от метода поиска предела. Скажем, если мы рассматриваем предел бесконечного увеличения для граничной области в виде квадратной коробки, то граничные условия будут одними, а если для сферы - то другими.

[Divergence]

Уточним задаваемый вопрос, сначала убрав парадокс.
Рассмотрим случай ненулевой дивергенции ($a+b+c \ne 0$).
В этом случае, у нас электростатика (ротор очевидно был в примере нулевой), и поле потенциально как локально, так и глобально (если область выберем односвязную ...), особенностей в нет.
Если некоторые считают, что для корректности формулировки вопроса надо брать не все пространство, а некоторую область - возьмем параллелепипед, например, со сторонами

$$\{(x,y,z): 0 \le x \le e/a, \quad 0 \le y \le e/b, \quad 0 \le z \le e/c \}. $$

Так какие граничные условия условия или распределения заряда на эквипотенциальной поверхности должны быть, чтобы иметь поле

$${\bf E}(x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y + c z {\bf e}_z$$

внутри этой область?
К сожалению мне непонятно, как выглядит физическая система зарядов, которая порождает такое поле.

P.S. Очевидно (в силу уравнения Максвелла), что во внутренних точна этой области плотность электрического заряда будет

$$ \rho (x,y,z) = \varepsilon_0 \operatorname{div} {\bf E}(x,y,z) = \varepsilon_0 (a+b+c) . $$

[DimaM]

Divergence в сообщении #1554837 писал(а):

Так какие граничные условия условия или распределения заряда на эквипотенциальной поверхности должны быть, чтобы иметь поле

$${\bf E}(x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y + с z {\bf e}_z$$

Распределение заряда по поверхности должно быть $\sigma=[E_\perp]$, где $[E_\perp]$ - скачок нормальной компоненты поля.

[Divergence]

DimaM в сообщении #1554839 писал(а):

Распределение заряда по поверхности должно быть $\sigma=[E_\perp]$, где $[E_\perp]$ - скачок нормальной компоненты поля.

1) Правильно ли я понимаю, что скачок нормальной компоненты поля $[E_\perp]$ равен модулю вектора напряженности на поверхности параллелепипеда?
Например, на правой грани перпендикулярной оси OX скачок нормальной компоненты поля равен

$$\sigma (e/a,y,z) =({\bf E}(e/a,y,z),{\bf e}_x)= e \ ?$$

2) Если утверждение DimaM верно, то у меня встает второй вопрос для случая $с<0$.
Можно ли сделать аналогично, то есть рассмотреть область в виде параллелепипеда, например, со сторонами

$$\{(x,y,z): 0 \le x \le e/a, \quad 0 \le y \le e/b, \quad 0 \le z \le e/|c| \}. $$

и найти граничные условия или распределения заряда на эквипотенциальной поверхности, чтобы иметь поле

$${\bf E}(x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y + c z {\bf e}_z$$

внутри этой область при $c<0$?

[mihiv]

Divergence в сообщении #1554929 писал(а):

и найти граничные условия или распределения заряда на эквипотенциальной поверхности, чтобы иметь поле

$${\bf E}(x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y + c z {\bf e}_z$$

Но грани параллелепипеда не могут быть эквипотенциальными поверхностями при таком выборе поля, т.к. это поле имеет тангенциальную составляющую на гранях.

[amon]

Divergence в сообщении #1554837 писал(а):

Так какие граничные условия условия или распределения заряда на эквипотенциальной поверхности должны быть, чтобы иметь поле

$${\bf E}(x,y,z) = a x {\bf e}_x + b y {\bf e}_y + c z {\bf e}_z$$

внутри этой области?

Если $\operatorname{div}{\bf E}=0,$ то достаточно сделать металлические поверхности, по форме совпадающие с эквипотенциальными поверхностями для данного поля, и подключить к ним батарейку с соответствующей разностью потенциалов. Если $\operatorname{div}{\bf E}\ne0,$ то все тоже самое, но в пространство между поверхностями нужно поместить заряд с плотностью $\operatorname{div}{\bf E}/4\pi.$

[Divergence]

Спасибо!
Особенно "amon"! Супер!

[EUgeneUS]

FGJ.
Если эвкипотенциальные поверхности являются границами ограниченной области, то метода уважаемого amon гарантирует наличие решения (что нужное распределение зарядов существует), но не даёт его.

[SNS2D]

1. Для произвольной ограниченной односвязной области D\subset \mathbb{R}^3 и произвольного потенциального поля $\vec{E}$ с потенциалом $\varphi$ в ней (в предположении разумной гладкости границы области $\partial D$ и $\varphi$ на $\overline{D}$) создающее это поле распределение зарядов в соответствии с формулой Грина устроено так: (1) внутри области объёмный заряд $\rho = -\Delta \varphi/(4\pi)$, (2) на границе области поверхностный заряд (т.н. простой слой) с двумерной плотностью $\sigma = - (\vec {E}, \vec {n})/(4\pi)$, где $\vec {n}$ --- единичный вектор внешней нормали к границе области, плюс (3) на границе области поверхностный слой диполей (т.н. двойной слой) с мощностью (дипольным моментом в направлении внешней нормали на единицу площади) $\tau = - \varphi/(4\pi)$. Такое распределение заряда создает в точности потенциал $\varphi$ внутри $D$ и тождественно равный нулю потенциал вне $\overline{D}$. Это универсальный способ создания требуемого в $D$ поля некоторым распределением зарядов, которое не выходит за пределы $\overline{D}$. При этом если граница области $D$ состоит только из эквипотенциальных поверхностей потенциала $\varphi$, то двойной слой не дает вклада в $\vec {E}$, т.к. создаваемый им потенциал оказывается константой (это происходит и для неограниченных эквипотенциальных поверхностей, когда $D$ неограничена); наличие двойного слоя неприятно тем, что с ним связана бесконечная электростатическая энергия.

2. Иногда даже в том случае, когда граница области не состоит из эквипотенциальных поверхностей, поле, создаваемое двойным слоем в $D$ (но не во всём $\mathbb{R}^3$), можно создать некоторым поверхностным зарядом (простым слоем) на $\partial D$, так что опять можно обойтись только зарядом внутри $D$ и поверхностным зарядом на $\partial D$ (хорошо известный пример --- однородное поле в шаре).

3. Если же речь идет о том, чтобы создать в $D$ нужное поле, имея возможность распределять заряды где угодно в $\mathbb{R}^3$ и не обращать внимания на то, что поле $\vec{E}$ не будет тождественным нулём вне $\overline{D}$, то решений может быть бесконечно много (например, когда поле $\vec{E}$, заданное в $D$, можно продолжить в какую-нибудь область $D_1 \supset \overline{D}$, достаточно применить описанную процедуру к $D_1$).

4. Пример: пусть $\vec{E} = ax\vec{e}_x + by\vec{e}_y + cz\vec{e}_z$. Это поле с потенциалом $\varphi = -(ax^2 + by^2 + cz^2)/2$ задано во всем $\mathbb{R}^3$. Найдем такое распределение зарядов, которое создает указанное поле в единичном шаре $x^2 + y^2 + z^2 \leqslant 1$. Прежде всего, можно считать, что $a + b + c = 0$, потому что сферически симметричный потенциал $\varphi_0 = -(a + b + c)r^2/6 + \makebox{{\rm const}}$ возникает внутри однородно заряженного шара с объёмной плотностью заряда $\rho_0 = (a + b + c)/(4\pi)$, так что потенциал $\Phi = \varphi - \varphi_0$ будет иметь вид $\Phi = -(ax^2 + by^2 + cz^2)/2$ c $a + b + c = 0$, т.е. $\Phi$ --- однородный гармонический полином степени $l = 2$. Любой такой полином может быть представлен внутри шара как потенциал простого слоя на единичной сфере с плотностью $\sigma_{\Phi} = \frac{2l + 1}{l}\sigma$, где $\sigma$ --- плотность простого слоя, фигурирующая в формуле Грина, т.е. $\sigma = \frac{1}{4\pi} \frac{\partial \Phi}{\partial \vec{n}} = \frac{l}{4\pi}\Phi(x, y, z)\left|_{x^2 + y^2 + z^2 = 1} \right.$ (проверяется с помощью теоремы сложения для сферических гармоник). Поэтому при любых $a,b,c$ поле $\vec{E} = ax\vec{e}_x + by\vec{e}_y + cz\vec{e}_z$ в единичном шаре можно получить, заполняя этот шар однородным зарядом с плотностью $\rho_0 = (a + b + c)/(4\pi)$ и размещая на его границе поверхностный заряд с плотностью $\sigma' = \frac{2l + 1}{4\pi}\Phi(x, y, z)\left|_{x^2 + y^2 + z^2 = 1} \right.$, где $\Phi(x, y, z) = -(a'x^2 + b'y^2 + c'z^2)/2$, $a' = \frac{2a - b - c}{3}$, $b' = \frac{2b - a - c}{3}$, $c' = \frac{2c - a - b}{3}$.