Dmitriy40Спасибо!
Некоторые мысли про доказательство невозможности четверки для
, для любых
.
Если кратко, можно составить общую схему доказательства\проверки. Но вот с общим доказательством как-то не складывается..
Подробнее (начну сначала, поэтому будут озвучены также давно установленные известные факты).
I. Общие факты. И классификация факторизаций.
дает 5 факторизаций чисел в цепочке (
- различные простые числа):
1.
2.
3.
4.
5.
Это даёт десять мест для размещения двойки, то есть десять вариантов факторизации с двойкой. Выпишем их все, попутно классифицируя.
Теперь
- различные простые нечётные числа.
1.
1.1.
1.2.
Эти факторизации
а) имеют вид
, где
- нечетно, поэтому:
б) могут располагаться в позиции
и не могут в позиции
, так как
в) обеспечивают, что тройка может быть только в позициях
или
, но не в
, так как
2.
- большая нечетная степень двойки:
2.1.
2.2.
2.3.
Эти факторизации запрещаются, так как имеют вид
, что приводит в уравнении
, к тому что, разность квадратов должна быть единицей, что невозможно.
3.
- "экзотичные"
Характеризуются тем, что с большой четной степенью двойки стоит степень только одного простого числа. А также тем (увидим ниже), что если в них и есть решения, то только ограниченное количество.
2.1.
2.2.
2.3.
4.
- "каноничные"
4.1
4.2
-- 19.05.2022, 16:49 --II. Исключение "экзотичных" факторизаций.
Применение "фокуса" с сокращением степени двойки приводит к шести уравнениям (по два на каждую факторизацию,
даёт два уравнения для каждой строки):
а)
б)
в)
Далее алгоритм следующий:
1. Проверяем, что для всех шести уравнений нет решений для простого
. Что впрочем не гарантируется.
2. Если решений нет - "экзотические" факторизации запрещены.
3. Если решений есть
а) их надо подставить в соответствующую факторизацию
б) добавить
(перешли к
).
в) факторизовать получившееся число.
4. Если факторизация не дала
делителей, то "экзотические" факторизации запрещены.
5. Если факторизация дала
делителей, то нашли
и
по
делителей. Нужно проверить остальные числа в цепочке, вдруг нашлась.
То есть на каждый набор
имеем конечное (и ограниченное) число проверок.
Но отрицательный результат, вообще говоря, не гарантируется.
-- 19.05.2022, 16:51 --Notes:
1. Может быть и получится доказать запрет "экзотичных" факторизаций в общем случае.... У меня не получилось.
2. Проверка легко алгоритмизируется. И системами компьютерной алгебры может быть выполнена до весьма больших
.
-- 19.05.2022, 17:19 --III. Исключение "каноничных" факторизаций.
Тут сложнее, поэтому очень схематично.
1. Доказываем, что тройка может быть только в
, но не в
.
а) Насколько понимаю, для этого требуется конечный набор проверок, но этот набор проверок будет каждый раз разный, для разных наборов
.
б) Более того, никто не гарантирует, что все проверки пройдут и тройка не может оказаться в
. Буде такое случится, это нужно рассматривать отдельно.
2. Фокус с сокращением степени двойки приведет к неким уравнениям, которые связывают
с некой степенью
.
Таких уравнений будет четыре на каждый каноничнеый паттерн, итого восемь.
Часть из них возможно будет отброшена сразу из-за неразрешимости в целых или простых числах.
3. Для каждого не отброшенного случая, в нужно подставить в разложение выражение для
, после чего скомпоновать получившиеся выражение с факторизацией
.
Это утроит количество вариантов.
4. Далее оставшиеся варианты нужно отбрасывать, подбирая модули, по которым они запрещаются.
Хорошие результаты дают модули в виде степени тройки (для это определяли её точное место), семерка, и степени двойки.
Notes: насколько это можно формализовать, чтобы "скормить" системам компьютерной алгебры - не знаю. Наверное можно.
Буде такое получится, можно будет доказывать
автоматически для огромного количества наборов
. Плюс будут выдаваться наборы
, для которых "возможны неожиданности", а это путь к нахождению таки четной максимальной цепочки.