Найти экстремум квадратичной формы с условием

[Verbery]

Приветствую всех! Решаю задачу 3671 Демидовича, не могу понять, как двигаться дальше в решении, буду рад помощи. Само условие:

Найти экстремум квадратичной формы:
$u=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$, при условии: $\sum_{i=1}^{n}x^2_i=1$

Что я делаю.
- Я составляю ф-цию Лагранжа: $F(x_1, x_2, ..., x_n, \lambda) = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j + \lambda\cdot(\sum_{i=1}^{n}x^2_i-1)$
- Далее ищу все частные производные этой ф-ции, получилась такая формула в общем виде:
$F_{x_i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j + 2\lambda x_i$
потому как производная от $(a_{ii}x_i^2)_x_i = 2a_{ii}x_i$, от $(a_{ij}x_ix_j)_x_i = a_{ij}x_j$ ну и будет удовенная сумма, так как $a_{ij}=a_{ji}$
- Составляю систему уравнений, где приравниваю каждую такую производную к 0:
$\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j + 2\lambda x_i = 0$

Далее на последнем шаге я пытаюсь найти $x_i$ для этой системы. Для этого я выражаю $x_i = - \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j}{\lambda}$ и подставляю в уравнение связи: $(\sum_{i=1}^{n}a_{1i}x_i)^2 + (\sum_{i=1}^{n}a_{2i}x_i)^2 + ... + (\sum_{i=1}^{n}a_{ni}x_i)^2 = \lambda^2$

Можете подсказать как дальше действовать?

[nnosipov]

Verbery в сообщении #1554883 писал(а):

Найти экстремум квадратичной формы:
$u=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$, при условии: $\sum_{i=1}^{n}x^2_i=1$

Это слишком известная задача, если отнестись к ней как к задаче по линейной алгебре.

[demolishka]

Verbery в сообщении #1554883 писал(а):

Составляю систему уравнений, где приравниваю каждую такую производную к 0:

Запишите это равенство в векторном виде.

[svv]

Вы немного ошиблись при дифференцировании формы.

$u=\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}\,x_i\,x_j$
Немые индексы $i,j$ при суммировании независимо пробегают значения от $1$ до $n$. Результат суммирования от $i$ и $j$ не зависит. За пределами суммы значения $i,j$ не определены. Поэтому нельзя сумму дифференцировать по $x_i$, а надо ввести новый свободный индекс:
$\frac{\partial u}{\partial x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\sum\limits_{i,j} a_{ij}\,x_i\,x_j$
Меняя здесь $k$ от $1$ до $n$, мы получим $n$ различных равенств, в каждом из которых $k$ является фиксированным.

Переменные из набора $(x_i)$ независимы, поэтому $\frac{\partial x_i}{\partial x_k}=\delta_{ik}$.
$\frac{\partial u}{\partial x_k}=\sum\limits_{i,j} a_{ij}\,\delta_{ik}\,x_j+\sum\limits_{i,j} a_{ij}\,x_i\,\delta_{jk}=\sum\limits_{j} a_{kj}\,x_j+\sum\limits_{i} a_{ik}\,x_i=\sum\limits_{j} (a_{kj}+a_{jk})\,x_j$
Если $a_{kj}=a_{jk}$, то
$\frac{\partial u}{\partial x_i}=2\sum\limits_{j} a_{ij}\,x_j$
(мы переименовали свободный индекс $k$ в $i$, теперь это безопасно). Итак, верный результат вдвое больше, а двойки в уравнениях теперь можно сократить.

[svv]

Вообще, проверьте внимательно, по каким индексам Вы суммируете. Где-то надо добавить суммирование по ещё одному индексу (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$), где-то исправить один индекс на другой (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j$).

[Verbery]

svv в сообщении #1554915 писал(а):

Вообще, проверьте внимательно, по каким индексам Вы суммируете. Где-то надо добавить суммирование по ещё одному индексу (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$), где-то исправить один индекс на другой (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j$).

Да, спасибо. Я там действительно напутал с индексами.

Я понял ваш совет с индексом k, вот такие частные производные с учётом ф-ции связи у меня получились: $\frac{\partial u}{\partial x_i}=2\sum\limits_{j}^n a_{ij}\,x_j + 2\lambda x_i$
Приравняв все эти производные к 0, представил получившуюся систему в матричном виде:
$\begin{pmatrix} a_{11} + \lambda & a_{21} & \cdots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} + \lambda & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{nn} + \lambda \end{pmatrix} = 0$

Теперь пытаюсь найти координаты стационарной точки, но похоже, что такое может быть равно нулю только в случае, когда $x_i=0$, но какой-то это несодержательный ответ. Можете подсказать правильно ли составил матрицу?

[nnosipov]

Verbery в сообщении #1554940 писал(а):

но похоже, что такое может быть равно нулю только в случае, когда $x_i=0$, но какой-то это несодержательный ответ.

Неужели эта матрица Вам ничего не напоминает? Ну, должны же быть хоть какие-то ассоциации (при условии, конечно, что "линейная алгебра" хоть как-то изучалась).

[novichok2018]

Так вроде можно собственные значения матрицы вводить, если правильно помню. Такой хитроумный путь для этого.
Вариационный метод определения спектра. Так максимальное значение получится. Потом последовательно форму на сфере подправить - будут получаться по очереди все остальные. Или не так?

[Verbery]

nnosipov в сообщении #1554942 писал(а):

Verbery в сообщении #1554940 писал(а):

но похоже, что такое может быть равно нулю только в случае, когда $x_i=0$, но какой-то это несодержательный ответ.

Неужели эта матрица Вам ничего не напоминает? Ну, должны же быть хоть какие-то ассоциации (при условии, конечно, что "линейная алгебра" хоть как-то изучалась).

Похоже на характеристическое уравнение. Спасибо, я не обратил на это внимание. Ещё и матрица симметричная, видно у неё собственные значения должны быть какие-то известные

[nnosipov]

Verbery в сообщении #1554947 писал(а):

Ещё и матрица симметричная, видно у неё собственные значения должны быть какие-то известные

Еще какие известные. И это для решения задачи важно.

[Verbery]

Всем привет! Вернулся к задаче, решил её вот так в итоге: