2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение18.05.2022, 12:34 
Аватара пользователя


20/02/12
135
Приветствую всех! Решаю задачу 3671 Демидовича, не могу понять, как двигаться дальше в решении, буду рад помощи. Само условие:

Найти экстремум квадратичной формы:
$u=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$, при условии: $\sum_{i=1}^{n}x^2_i=1$

Что я делаю.
- Я составляю ф-цию Лагранжа: $F(x_1, x_2, ..., x_n, \lambda) = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j + \lambda\cdot(\sum_{i=1}^{n}x^2_i-1)$
- Далее ищу все частные производные этой ф-ции, получилась такая формула в общем виде:
$F_{x_i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j + 2\lambda x_i$
потому как производная от $(a_{ii}x_i^2)_x_i = 2a_{ii}x_i$, от $(a_{ij}x_ix_j)_x_i = a_{ij}x_j$ ну и будет удовенная сумма, так как $a_{ij}=a_{ji}$
- Составляю систему уравнений, где приравниваю каждую такую производную к 0:
$\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j + 2\lambda x_i = 0$

Далее на последнем шаге я пытаюсь найти $x_i$ для этой системы. Для этого я выражаю $x_i = - \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j}{\lambda}$ и подставляю в уравнение связи: $(\sum_{i=1}^{n}a_{1i}x_i)^2 + (\sum_{i=1}^{n}a_{2i}x_i)^2 + ... + (\sum_{i=1}^{n}a_{ni}x_i)^2 = \lambda^2$

Можете подсказать как дальше действовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение18.05.2022, 13:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Verbery в сообщении #1554883 писал(а):
Найти экстремум квадратичной формы:
$u=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$, при условии: $\sum_{i=1}^{n}x^2_i=1$
Это слишком известная задача, если отнестись к ней как к задаче по линейной алгебре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение18.05.2022, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Verbery в сообщении #1554883 писал(а):
Составляю систему уравнений, где приравниваю каждую такую производную к 0:

Запишите это равенство в векторном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение18.05.2022, 20:17 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вы немного ошиблись при дифференцировании формы.

$u=\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}\,x_i\,x_j$
Немые индексы $i,j$ при суммировании независимо пробегают значения от $1$ до $n$. Результат суммирования от $i$ и $j$ не зависит. За пределами суммы значения $i,j$ не определены. Поэтому нельзя сумму дифференцировать по $x_i$, а надо ввести новый свободный индекс:
$\frac{\partial u}{\partial x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\sum\limits_{i,j} a_{ij}\,x_i\,x_j$
Меняя здесь $k$ от $1$ до $n$, мы получим $n$ различных равенств, в каждом из которых $k$ является фиксированным.

Переменные из набора $(x_i)$ независимы, поэтому $\frac{\partial x_i}{\partial x_k}=\delta_{ik}$.
$\frac{\partial u}{\partial x_k}=\sum\limits_{i,j} a_{ij}\,\delta_{ik}\,x_j+\sum\limits_{i,j} a_{ij}\,x_i\,\delta_{jk}=\sum\limits_{j} a_{kj}\,x_j+\sum\limits_{i} a_{ik}\,x_i=\sum\limits_{j} (a_{kj}+a_{jk})\,x_j$
Если $a_{kj}=a_{jk}$, то
$\frac{\partial u}{\partial x_i}=2\sum\limits_{j} a_{ij}\,x_j$
(мы переименовали свободный индекс $k$ в $i$, теперь это безопасно). Итак, верный результат вдвое больше, а двойки в уравнениях теперь можно сократить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение18.05.2022, 23:41 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Вообще, проверьте внимательно, по каким индексам Вы суммируете. Где-то надо добавить суммирование по ещё одному индексу (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$), где-то исправить один индекс на другой (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение19.05.2022, 18:05 
Аватара пользователя


20/02/12
135
svv в сообщении #1554915 писал(а):
Вообще, проверьте внимательно, по каким индексам Вы суммируете. Где-то надо добавить суммирование по ещё одному индексу (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$), где-то исправить один индекс на другой (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j$).

Да, спасибо. Я там действительно напутал с индексами.

Я понял ваш совет с индексом k, вот такие частные производные с учётом ф-ции связи у меня получились: $\frac{\partial u}{\partial x_i}=2\sum\limits_{j}^n a_{ij}\,x_j + 2\lambda x_i$
Приравняв все эти производные к 0, представил получившуюся систему в матричном виде:
$\begin{pmatrix} a_{11} + \lambda & a_{21} & \cdots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} + \lambda & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2}  & \cdots & a_{nn} + \lambda \end{pmatrix} = 0$

Теперь пытаюсь найти координаты стационарной точки, но похоже, что такое может быть равно нулю только в случае, когда $x_i=0$, но какой-то это несодержательный ответ. Можете подсказать правильно ли составил матрицу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение19.05.2022, 18:46 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Verbery в сообщении #1554940 писал(а):
но похоже, что такое может быть равно нулю только в случае, когда $x_i=0$, но какой-то это несодержательный ответ.
Неужели эта матрица Вам ничего не напоминает? Ну, должны же быть хоть какие-то ассоциации (при условии, конечно, что "линейная алгебра" хоть как-то изучалась).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение19.05.2022, 19:16 
Заблокирован


16/04/18

1129
Так вроде можно собственные значения матрицы вводить, если правильно помню. Такой хитроумный путь для этого.
Вариационный метод определения спектра. Так максимальное значение получится. Потом последовательно форму на сфере подправить - будут получаться по очереди все остальные. Или не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение19.05.2022, 19:29 
Аватара пользователя


20/02/12
135
nnosipov в сообщении #1554942 писал(а):
Verbery в сообщении #1554940 писал(а):
но похоже, что такое может быть равно нулю только в случае, когда $x_i=0$, но какой-то это несодержательный ответ.
Неужели эта матрица Вам ничего не напоминает? Ну, должны же быть хоть какие-то ассоциации (при условии, конечно, что "линейная алгебра" хоть как-то изучалась).

Похоже на характеристическое уравнение. Спасибо, я не обратил на это внимание. Ещё и матрица симметричная, видно у неё собственные значения должны быть какие-то известные

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение19.05.2022, 21:27 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Verbery в сообщении #1554947 писал(а):
Ещё и матрица симметричная, видно у неё собственные значения должны быть какие-то известные
Еще какие известные. И это для решения задачи важно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group