2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение18.05.2022, 12:34 
Аватара пользователя


20/02/12
161
Приветствую всех! Решаю задачу 3671 Демидовича, не могу понять, как двигаться дальше в решении, буду рад помощи. Само условие:

Найти экстремум квадратичной формы:
$u=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$, при условии: $\sum_{i=1}^{n}x^2_i=1$

Что я делаю.
- Я составляю ф-цию Лагранжа: $F(x_1, x_2, ..., x_n, \lambda) = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j + \lambda\cdot(\sum_{i=1}^{n}x^2_i-1)$
- Далее ищу все частные производные этой ф-ции, получилась такая формула в общем виде:
$F_{x_i} = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j + 2\lambda x_i$
потому как производная от $(a_{ii}x_i^2)_x_i = 2a_{ii}x_i$, от $(a_{ij}x_ix_j)_x_i = a_{ij}x_j$ ну и будет удовенная сумма, так как $a_{ij}=a_{ji}$
- Составляю систему уравнений, где приравниваю каждую такую производную к 0:
$\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j + 2\lambda x_i = 0$

Далее на последнем шаге я пытаюсь найти $x_i$ для этой системы. Для этого я выражаю $x_i = - \frac{\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j}{\lambda}$ и подставляю в уравнение связи: $(\sum_{i=1}^{n}a_{1i}x_i)^2 + (\sum_{i=1}^{n}a_{2i}x_i)^2 + ... + (\sum_{i=1}^{n}a_{ni}x_i)^2 = \lambda^2$

Можете подсказать как дальше действовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение18.05.2022, 13:43 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Verbery в сообщении #1554883 писал(а):
Найти экстремум квадратичной формы:
$u=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$, при условии: $\sum_{i=1}^{n}x^2_i=1$
Это слишком известная задача, если отнестись к ней как к задаче по линейной алгебре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение18.05.2022, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Verbery в сообщении #1554883 писал(а):
Составляю систему уравнений, где приравниваю каждую такую производную к 0:

Запишите это равенство в векторном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение18.05.2022, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Вы немного ошиблись при дифференцировании формы.

$u=\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}\,x_i\,x_j$
Немые индексы $i,j$ при суммировании независимо пробегают значения от $1$ до $n$. Результат суммирования от $i$ и $j$ не зависит. За пределами суммы значения $i,j$ не определены. Поэтому нельзя сумму дифференцировать по $x_i$, а надо ввести новый свободный индекс:
$\frac{\partial u}{\partial x_k}=\frac{\partial}{\partial x_k}\sum\limits_{i,j} a_{ij}\,x_i\,x_j$
Меняя здесь $k$ от $1$ до $n$, мы получим $n$ различных равенств, в каждом из которых $k$ является фиксированным.

Переменные из набора $(x_i)$ независимы, поэтому $\frac{\partial x_i}{\partial x_k}=\delta_{ik}$.
$\frac{\partial u}{\partial x_k}=\sum\limits_{i,j} a_{ij}\,\delta_{ik}\,x_j+\sum\limits_{i,j} a_{ij}\,x_i\,\delta_{jk}=\sum\limits_{j} a_{kj}\,x_j+\sum\limits_{i} a_{ik}\,x_i=\sum\limits_{j} (a_{kj}+a_{jk})\,x_j$
Если $a_{kj}=a_{jk}$, то
$\frac{\partial u}{\partial x_i}=2\sum\limits_{j} a_{ij}\,x_j$
(мы переименовали свободный индекс $k$ в $i$, теперь это безопасно). Итак, верный результат вдвое больше, а двойки в уравнениях теперь можно сократить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение18.05.2022, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Вообще, проверьте внимательно, по каким индексам Вы суммируете. Где-то надо добавить суммирование по ещё одному индексу (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$), где-то исправить один индекс на другой (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение19.05.2022, 18:05 
Аватара пользователя


20/02/12
161
svv в сообщении #1554915 писал(а):
Вообще, проверьте внимательно, по каким индексам Вы суммируете. Где-то надо добавить суммирование по ещё одному индексу (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$), где-то исправить один индекс на другой (например, тут: $\sum_{i=1}^{n}a_{ij}x_j$).

Да, спасибо. Я там действительно напутал с индексами.

Я понял ваш совет с индексом k, вот такие частные производные с учётом ф-ции связи у меня получились: $\frac{\partial u}{\partial x_i}=2\sum\limits_{j}^n a_{ij}\,x_j + 2\lambda x_i$
Приравняв все эти производные к 0, представил получившуюся систему в матричном виде:
$\begin{pmatrix} a_{11} + \lambda & a_{21} & \cdots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} + \lambda & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2}  & \cdots & a_{nn} + \lambda \end{pmatrix} = 0$

Теперь пытаюсь найти координаты стационарной точки, но похоже, что такое может быть равно нулю только в случае, когда $x_i=0$, но какой-то это несодержательный ответ. Можете подсказать правильно ли составил матрицу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение19.05.2022, 18:46 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Verbery в сообщении #1554940 писал(а):
но похоже, что такое может быть равно нулю только в случае, когда $x_i=0$, но какой-то это несодержательный ответ.
Неужели эта матрица Вам ничего не напоминает? Ну, должны же быть хоть какие-то ассоциации (при условии, конечно, что "линейная алгебра" хоть как-то изучалась).

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение19.05.2022, 19:16 
Заблокирован


16/04/18

1129
Так вроде можно собственные значения матрицы вводить, если правильно помню. Такой хитроумный путь для этого.
Вариационный метод определения спектра. Так максимальное значение получится. Потом последовательно форму на сфере подправить - будут получаться по очереди все остальные. Или не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение19.05.2022, 19:29 
Аватара пользователя


20/02/12
161
nnosipov в сообщении #1554942 писал(а):
Verbery в сообщении #1554940 писал(а):
но похоже, что такое может быть равно нулю только в случае, когда $x_i=0$, но какой-то это несодержательный ответ.
Неужели эта матрица Вам ничего не напоминает? Ну, должны же быть хоть какие-то ассоциации (при условии, конечно, что "линейная алгебра" хоть как-то изучалась).

Похоже на характеристическое уравнение. Спасибо, я не обратил на это внимание. Ещё и матрица симметричная, видно у неё собственные значения должны быть какие-то известные

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение19.05.2022, 21:27 
Заслуженный участник


20/12/10
9062
Verbery в сообщении #1554947 писал(а):
Ещё и матрица симметричная, видно у неё собственные значения должны быть какие-то известные
Еще какие известные. И это для решения задачи важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти экстремум квадратичной формы с условием
Сообщение05.04.2024, 16:16 
Аватара пользователя


20/02/12
161
Всем привет! Вернулся к задаче, решил её вот так в итоге:
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: VanD


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group