2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщение леммы Эйлера о сумме квадратов
Сообщение13.05.2022, 00:26 


21/04/22
10
Пусть $a, b, c, d, N$ - ненулевые целые числа, $a$ взаимнопросто с $Nb$, $c$ взаимнопросто с $Nd$, $c^2+Nd^2$ делится на $a^2+Nb^2$, $a^2+Nb^2 = p^m$ для некоторого нечётного простого $p$ и целого положительного $m$. Тогда $\frac{c^2+Nd^2}{a^2+Nb^2}$ можно представить в виде $x^2+Ny^2$ с взаимнопростыми $x$ и $Ny$.

Частный случай этого утверждения, когда $m = 1, N = 1$, был использован Эйлером в доказательстве представимости простого числа $p \equiv 1 \pmod{4}$ в виде суммы квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение леммы Эйлера о сумме квадратов
Сообщение18.05.2022, 16:49 


21/04/22
10
Представляют ли интерес элементарные доказательства следующих утверждений?

1) Критерии представимости натурального числа в виде $x^2+5y^2$ и $x^2+7y^2$

2) Если $-11$ квадратичный вычет по модулю нечётного простого числа $p$, то $p^3$ представимо в виде $x^2+11y^2$

3) Если $-17$ квадратичный вычет по модулю нечётного простого числа $p$, то $p^4$ представимо в виде $x^2+17y^2$

4) (наиболее общая формулировка). Если утверждение из темы https://dxdy.ru/topic149543.html верно для всех $p < q $ (при фиксированном $q$), то оно верно и для всех остальных простых.

Доказательства проводятся по индукции с использованием теоремы из стартового сообщения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение леммы Эйлера о сумме квадратов
Сообщение18.05.2022, 19:27 
Заслуженный участник


20/12/10
8640
mathematician123 в сообщении #1554893 писал(а):
Представляют ли интерес элементарные доказательства следующих утверждений?
Думаю, да. Во всяком случае, мне раньше подобное не встречалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщение леммы Эйлера о сумме квадратов
Сообщение19.05.2022, 11:52 


21/04/22
10
Докажем по индукции следущее утверждение: квадрат любого взаимнопростого с 10 натурального числа $d$, для которого $-5$ является квадратичным вычетом, представим в виде $x^2+5y^2$ с взаимнопростыми $x$ и $5y$. Базой индукции являются все числа меньшие 5, из которых по условию подходит только 3. $3^2 = 2^2+5 \cdot 1^2$. Теперь индукционный переход. Поскольку $-5$ квадратичный вычет по модулю $d$, то найдутся целые числа $x$ и $k$, такие что $x^2+5 = kd$. $x$ выберем так, что оно чётное и $0 < x < d$. Тогда $0 < k < d$. Возможны два случая: $x$ либо делится на 5, либо не делится. Рассмотрим первый случай (второй рассматривается аналогично). Возведём равенство $x^2+5 = kd$ в квадрат и получим $(x^2-5)^2+5(2x)^2 = k^2d^2$. Если $k = 1$, то утверждение доказано. Пусть $p$ - простой делитель $k$ и $k = pk_1$. Тогда $\frac{(x^2-5)^2+5(2x)^2}{p^2} = k_1^2d^2$. Поскольку $0 < k < d$, то для $p$ верно предположение индукции и оно представимо в виде $a^2+5b^2$ с взаимнопростыми $a$ и $5b$. Но тогда по лемме из стартового сообщения получаем, что $\frac{(x^2-5)^2+5(2x)^2}{p^2}$ также представимо в таком виде. Пусть $x_1^2+5y_1^2 = k_1^2d^2$. Если $k_1 > 1$, то будем повторять ту же процедуру с выделением простого делителя до тех пор пока не получим $k_s = 1$ и $x_s^2+5y_s^2 = k_s^2d^2$.

В общем случае (утверждение 4 из моего предыдущего сообщения), для формы $x^2+qy^2$ можно дать похожее доказательство, но нужно предварительно доказать следущую лемму: Если нечётное натуральное число $d$ представимо в виде $x^2+qy^2$ с взаимнопростыми $x$ и $qy$, то для любого натурального $m$: $d^m$ также представимо в виде $x^2+qy^2$ с взаимнопростыми $x$ и $qy$.

Дополнение о том, как получить критерий представимости натурального числа в виде $x^2+5y^2$.
Лемма. Пусть $d$ - нечётное натуральное число взаимнопростое с 10. $d^2$ представимо в виде $x^2+5y^2$ с взаимнопростыми $x$ и $5y$ тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел $d$ и $2d$ представимо в виде $x^2+5y^2$ с взаимнопростыми $x$ и $5y$.
Доказательство. Если $d = x^2+5y^2$, то $d^2 = (x^2-5y^2)^2+5(2xy)^2$. Если $2d = x^2+5y^2$, то $d^2 = (\frac{x^2-5y^2}{2})^2+5(xy)^2$. Если $d^2 = x^2+5y^2$, то $(d-x)(d+x)=5y^2$. $d-x$ и $d+x$ либо взаимнопросты, либо их НОД равен 2. В первом случае среди этих чисел один квадрат и один упятерённый квадрат, а их сумма $2d = (d-x) + (d+x)$ представима в виде $x^2+5y^2$. Во втором случае аналогично получается, что $d$ представимо в виде $x^2+5y^2$.

Как определить, когда $d = x^2+5y^2$, а когда $2d = x^2+5y^2$? Это можно сделать, рассмотрев эти равенства по модулю 5. Ровно одно из них будет разрешимо. Например, если $d \equiv 3 \pmod{20}$, то $2d = x^2+5y^2$, а первое равенство невозможно по модулю 5.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group