Непонятен вывод в Хоровице и Хилле (УК с ОЭ)

[Kevsh]

В самом конце параграфа "2.07. Усилитель с общим эмиттером" есть такой вывод (касательно выходного сопротивления усилителя):
Выходное сопротивление определяется как параллельное соединение сопротивления коллектора и выходного сопротивления транзистора со стороны коллектора. Что же получается? Если бы не коллекторный резистор, то схема не отличалась бы от источника тока. Коллектор обладает очень большим сопротивлением (порядка магаОм), поэтому выходное сопротивление определяется коллекторным резистором, сопротивление которого составляет 10 кОм.
Вопрос: что значит "Коллектор обладает очень большим сопротивлением (порядка магаОм)"? Что имеется в виду? Я так понял, что авторы учебника имели в виду выходной импеданс относительно коллектора. Я попытался вывести его самостоятельно, но ничего не вышло. Выводил из этих формул:
$\Delta u_{\text{б}}=\Delta i_{\text{к}}R_{\text{э}}$
$\Delta i_{\text{к}}=\Delta i_{\text{б}}\beta$
$\Delta u_{\text{б}}=\Delta i_{\text{б}}R_{\text{б}}$
$\Delta u_{\text{к}}=-\Delta i_{\text{к}}R_{\text{к}}$
Как всё-таки посчитать это сопротивление? Или авторы не приводят его, потому что так просто его не получится посчитать?

Также я кое-что заметил, когда пытался всё это дело вывести. Вопрос, наверное, совсем глупый, но я реально не очень это понимаю. Когда мы ищем выходной импеданс, мы делим выходное напряжение на выходной ток. При этом мы, получается, всегда находим сопротивление нагрузки, верно? Просто если это так, то выходное сопротивление усилителя с ОЭ - сопротивление коллектора, поделенное на 2. Выходное сопротивление эмиттерного повторителя - сопротивление эмиттера, поделенное на два. Но это же не так. Где ошибка в такой логике?

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1554306 писал(а):

Вопрос: что значит "Коллектор обладает очень большим сопротивлением (порядка магаОм)"?

Означает ровно то, что написано. И да, в разделе 2.06 авторы как раз и рассматривают транзисторные источники тока. Которые
а) именно на этом свойстве (ток коллектора не зависит от сопротивления в коллекторе, а значит импеданс коллектора оооочень большой).
б) а в разделе 2.07, используя этот факт, авторы строят усилитель с ОЭ из источника тока.

Kevsh в сообщении #1554306 писал(а):

Я попытался вывести его самостоятельно, но ничего не вышло.

И не выйдет. Оставаясь в простейшей модели транзистора, мы получим импеданс со стороны коллектора - бесконечность. Так как в этой модели ток через коллектор не зависит от сопротивления в коллекторе.

Kevsh в сообщении #1554306 писал(а):

Вопрос, наверное, совсем глупый, но я реально не очень это понимаю. Когда мы ищем выходной импеданс, мы делим выходное напряжение на выходной ток. При этом мы, получается, всегда находим сопротивление нагрузки, верно? Просто если это так, то выходное сопротивление усилителя с ОЭ - сопротивление коллектора, поделенное на 2. Выходное сопротивление эмиттерного повторителя - сопротивление эмиттера, поделенное на два. Но это же не так. Где ошибка в такой логике?

Ошибка в том, что Вы путаетесь в этих входных и выходных сопротивлениях\импедансах.
Всё время держите в голове рисунок 2.7 из Хоровица и Хилла. На этой картинке нарисовано следующее:
а) выход каскада можно рассматривать как некий источник (постоянного или переменного напряжения), которые состоит из некого идеального источника ЭДС, и включенного последовательно ему сопротивления (в общем случае - комплексного импеданса). (Вспоминаем эквивалентный генератор). Вот это сопротивление и есть выходное сопротивление \ выходной импеданс.
б) вход каскада можно рассматривать как просто некое сопротивление (в общем случае - комплексный импеданс). Опять же согласно теореме, что любую схему, не содержащую источники, можно свести к одному сопротивлению (в общем случае - к комплексному, то есть к импедансу).

[Kevsh]

EUgeneUS
Видимо, используемое мной равенство $\frac{\Delta U_{\text{э}}}{\Delta I_{\text{э}}}=Z_{\text{вых}}$ - чушь.

[Kevsh]

EUgeneUS
Вообще, я, кажется, понял, в чём проблема моего непонимания.
Вот такая формула предлагается для определения входного импеданса ЭП: $Z_{\text{вх}}=\frac{\Delta U_{\text{б}}}{\Delta I_{\text{б}}}$. Из рис. 1 видно, что так и есть, хорошо. Вопрос: из рис. 1 можно сказать, что при увеличении тока базы увеличивается напряжение на базе? Вот вроде бы выглядит, будто так можно сказать, но на самом деле ничего подобного. При увеличении тока базы потенциал базы уменьшится, ведь увеличится падение напряжения на делителе напряжения. Здесь знак не важен, но вот при выводе выходного импеданса уже важен. Вот как с этим поступать? Ну и также хотелось бы спросить, я же правильно представляю схему замещения при расчёте выходного сопротивления (рис. 2)?

[EUgeneUS]

Рис.1. Всё верно, если делитель напряжения в базе рассматривается как источник сигнала - как в соседней теме со стабилизатором.
Но он может рассматриваться и как часть каскада, тогда $R_{\text{вх}} = R_1\parallel R_2\parallel R_{\text{вх.ЭП}}$, где:
$R_1, R_2$ - сопротивления делителя в базе,
$R_{\text{вх.ЭП}}$ - "сопротивление транзистора со стороны базы в схеме ЭП"

Рис.2.Вместо $ R_{\text{Э}}$ должно быть $R_{\text{Э}} \parallel R_{\text{Н}}$

-- 11.05.2022, 08:05 --

Kevsh в сообщении #1554335 писал(а):

Видимо, используемое мной равенство $\frac{\Delta U_{\text{э}}}{\Delta I_{\text{э}}}=Z_{\text{вых}}$ - чушь.

Это вполне правильное равенство. Но нужно понимать, что тут "дельты".

Подробнее позже.

[EUgeneUS]

Видимо, придется начать сначала.


-- 11.05.2022, 16:33 --

У нас есть батарейка - источник ЭДС величины $\varepsilon$ с включенным последовательно ему внутренним сопротивлением $r_{out}$ (это и будет выходное сопротивление батарейки).
И есть лампочка сопротивлением $R_1$.

1. Нарисуем вольт-амперную характеристику сопротивления.
$I(U) = U/R$ - закон Ома. Он же уравнение, описывающее ВАХ сопротивления.
Это прямая, проходящая через начало координат. При это угловой коэффициент этой прямой : $k = 1/R$

Как можем измерить сопротивление (то есть угловой коэффициент)? В любом случае, для определения углового коэффициента прямой нам нужно две точки. Но есть два способа:
а) в качестве первой точки выберем начало координат. В качестве второй - любую точку на ВАХ, например точку $A$. Тогда:
$R_1 = U_1/I_1$. Это мы измерили т.н. полное сопротивление.
б) А можем взять некую точку на ВАХ и немного её подвигать, тогда
$r_1 = \Delta U / \Delta I$
Это мы измерили сопротивление для малого сигнала.
Если устремим $\Delta U, \Delta I \to 0$, то это будет дифференциальное сопротивление: $r_{\text{diff}} = 1/ (dI/dU)$

Для пассивных линейных элементов: $R = r = r_{\text{diff}} >0$
Для пассивных нелинейных элементов. $R > 0$, $r \approx r_{\text{diff}}$, при этом дифференциальное сопротивление может быть даже отрицательным (полное - не может, иначе будет вечный двигатель )

-- 11.05.2022, 16:52 --

2. Нарисуем ВАХ батарейки.
$I = \varepsilon /(r_{out} + R_H)$, где $R_H$ - неизвестное сопротивление нагрузки.
С другой стороны, закон Ома для нагрузки: $U = I R_H$
Тогда: $I(U) = (\varepsilon - U)/ r_{out}$
Это опять прямая, с коэффициентом наклона $k = - 1/r_{out}$
Она уже не проходит через начало координат. Это не удивительно, так как внутре у неё неонка внутри батарейки есть источник ЭДС.

Как нам измерить коэффициент наклона (а значит и $r_{out}$)? Опять есть два способа (и оба требуют две точки).
а) как нас учат в школе - можно поделить напряжение на холостом ходе и ток при коротком замыкании: $r_{out} = U_{\text{х.х}}/ I_{\text{к.з.}}$
Это вполне приемлемо для, например, делителя напряжения, подключенного к хорошему источнику напряжения. Но не всегда удобно или не всегда применимо.
б) другой способ - немного изменить нагрузку. Например, $R_1 \to R_2$. Это приведет к некоторому изменению как тока, так и напряжения (точки $A, B$). Тогда $r_{out} = - \Delta U / \Delta I$, при этом важно помнить, что изменения напряжения и тока ($\Delta U , \Delta I$) связаны именно с изменением сопротивления нагрузки!

-- 11.05.2022, 17:11 --

Теперь переходим к рассмотрению (какого-нибудь) каскада.
1. Ко входу каскада подключен некий источник сигнала, который описывается (эквивалентный генератор), как некий источник ЭДС $\varepsilon_s$ и внутреннее (выходное) сопротивление источника $r_s$
2. Вход же каскада, описывается неким входным сопротивлением каскада $r_{in}$.
3. К выходу каскада подключено сопротивление нагрузки $r_H$
4. Каскад же со стороны выхода описывается (опять эквивалентный генератор), как некий источник ЭДС $\varepsilon_0$ и внутреннее (выходное) сопротивление каскада $r_{out}$

"Измеряем" входное сопротивление каскада. Для этого надо насколько изменить сигнал (источник сигнала), это приведет к некоторым изменениям входного напряжения и входного тока: $\Delta u_{in}, \Delta i_{in}$. При этом, что важно, сопротивление нагрузки не меняется!
Тогда входное сопротивление каскада: $r_{in} = \Delta u_{in} / \Delta i_{in}$

Далее, зная устройство каскада и сопротивление нагрузки, мы можем рассчитать изменения выходных токов и напряжения: $\Delta u_{out}, \Delta i_{out}$.
а) что получим если одно поделить на другое? Только сопротивление нагрузки: $r_H = \Delta u_{out}/ \Delta i_{out}$
Это закон Ома для нагрузки.
б) Если поделить выходные напряжение и ток на входные напряжение и ток, то получим коэффициенты усиления по напряжению и току:
$К_u = \Delta u_{out} / \Delta u_{in}$
$К_i = \Delta i_{out} / \Delta i_{in}$

Но кто же убил Нолестро? как посчитать выходное сопротивление каскада?

[EUgeneUS]

Как мы видели выше, с батарейкой, для измерения выходного сопротивления нужно поменять сопротивление нагрузки. Сделаем это. Но при этом источник сигнала менять не будем, это важно!
Изменение сопротивления нагрузки приведет к изменению выходного напряжения и тока: $\hat{\Delta u_{out}}, \hat{\Delta i_{out}}$.
И вот теперь если поделим одно на другое, мы получим выходное сопротивление каскада:
$r_{out} = \hat{\Delta u_{out}} / \hat{\Delta i_{out}}$

При этом, вообще говоря, входные напряжения и ток тоже поменяются: $\hat{\Delta u_{in}}, \hat{\Delta i_{in}}$
Но эти изменения будут связаны не с изменением в источнике сигнала, а будут савязаны с тем, что при изменении сопротивления нагрузки входное сопротивление каскада тоже несколько изменится.

А теперь вишенка на торте: меня гложут смутные сомнения, что Ваше непонимание и путаница происходит от того, что Вы всё время путаете:
а) $\Delta u_{out}, \Delta i_{out}$ - изменения выходного напряжения и тока, связанные с изменениями входного сигнала, при зафиксированном сопротивлении нагрузки.
б) $\hat{\Delta u_{out}}, \hat{\Delta i_{out}}$ - изменения выходного напряжения и тока, связанные с изменениями сопротивления нагрузки, при зафиксированном источнике входного сигнала.

Но это - разное.

-- 11.05.2022, 17:24 --

(Оффтоп)

Уфф

-- 11.05.2022, 17:33 --

EUgeneUS в сообщении #1554385 писал(а):

$К_u = \Delta u_{out} / \Delta u_{in}$
$К_i = \Delta i_{out} / \Delta i_{in}$

Исправление опечатки:
$K_u = \Delta u_{out} / \Delta u_{in}$
$K_i = \Delta i_{out} / \Delta i_{in}$

[Kevsh]

EUgeneUS
Для определения входного сопротивления, как я понял, нужно в голове держать такую схему. Она правильная?

Под входным током и напряжением Вы подразумеваете ток и напряжение на резисторе $R_{in}$?
В принципе, если записать закон Ома для резистора $R_{in}$ и выразить дельты, то получится $r_{in} = \Delta u_{in} / \Delta i_{in}$, которое Вы привели.
Я правильно понимаю, что $R_s$ и $R_{out}$ - одно и то же? Потому что следующий вывод мне уже непонятен: $r_H = \Delta u_{out}/ \Delta i_{out}$. Если под $u_{out}$ и $i_{out}$ Вы имели в виду напряжение и ток на резисторе $R_s$, то я ничего не понимаю. Если же это были ток и напряжение на нагрузке, то всё понятно. Только мне не очень нравится, что, исходя из моих рассуждения, $u_{in}=u_{out}$, это правда так?
Но принцип вроде понятен - для определения выходного сопротивления нужно засечь изменение напряжения на нём, после чего поделить на изменение тока на нём же (при неизменных сопротивлениях). Если говорить про эмиттерный повторитель, то нужно засекать изменение напряжения на эмиттере и тока на эмиттере. Если мы будем засекать изменение напряжения на эмиттере и изменение тока на нагрузке, то получим сопротивление нагрузки.

Нам же ничего не мешает засечь изменение напряжения на внутреннем сопротивлении, поделить его на изменение тока на нём же и получить выходное сопротивление?

По определению выходного сопротивления:
У меня в голове теперь такая логика, которая вроде даже работает:
Мы изменили сопротивление нагрузки, но не изменили напряжение источника. Получается, что суммарное напряжение в цепи осталось тем же. Если напряжение на нагрузке уменьшилось, то на ту же величину увеличилось напряжение на внутреннем сопротивлении источника. Почти то же самое и с током - он один, то есть если на нагрузке стало на ампер меньше, то и на внутреннем сопротивлении стало на ампер меньше. Получается, что мы можем поделить изменение напряжения на нагрузке (после изменения сопротивления нагрузки и без изменения напряжения источника) на изменение тока на нагрузке и получить внутреннее (выходное) сопротивление.

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1554472 писал(а):

Получается, что мы можем поделить изменение напряжения на нагрузке (после изменения сопротивления нагрузки и без изменения напряжения источника) на изменение тока на нагрузке и получить внутреннее (выходное) сопротивление.

Это верно. Во всем остальном наличие некой путаницы наблюдаю я. Вечером попробую ещё раз объяснить, чуть другими словами.

[EUgeneUS]

Kevsh в сообщении #1554472 писал(а):

Для определения входного сопротивления, как я понял, нужно в голове держать такую схему. Она правильная?

В голове нужно держать вот эту схему:


И только неё. На этой схеме есть ровно три элемента:
1. Со стороны выхода:
а) идеальный источник ЭДС
б) выходное сопротивление.

2. Со стороны входа - входное сопротивление.

Как только появляются какие-то дополнительные элементы, их нужно включать в тот или иной каскад, и приводить схему к этой.

-- 13.05.2022, 19:12 --

Через оба каскада течет один и тот же ток (из одного вытекает, в другой втекает) - $I$. И напряжение на выходе первого равно напряжению на входе второго - $U$.

Как измерить входное сопротивление второго каскада?
Очень просто: напряжение на нём разделить на ток:

$R_{\text{Вх2}} = U/I$. Это для постоянного тока ("большого сигнала").

Индекс "2" указывает - это это входное сопротивление второго каскада на рисунке.

Перейдем к малому сигналу, то есть к приращениям. Для измерения $R_{\text{Вх1}}$, оно само должно быть постоянным!
Тогда $R_{\text{Вх2}} = \left.\frac{u}{i}\right|_{R_{\text{Вх2}} = \operatorname{const}}$

-- 13.05.2022, 19:34 --

Для измерения выходного сопротивления первого каскада, наоброт, его параметры должны быть константами, а изменения (варьирование) происходит на стороне второго:

$R_{\text{Вых1}} = \left.\frac{u}{i}\right|_{E, R_{\text{Вых1}} = \operatorname{const}}$

Но что такое $E = \operatorname{const}$? Это означает, что ЭДС источника (эквивалентного источника ЭДС в первом каскаде) не меняется.
А значит, переходя к приращениям (малым сигналам) $e=0$.
Опс. Это означает, что источник переменной ЭДС выключили. Но его внутреннее сопротивление - ноль (идеальный же). А значит на схеме замещения он заменился перемычной.

Далее, что значит "меняется $R_{\text{Вх2}}$"?
Если на нём нет постоянного напряжения, то ток и напряжения будут нулем, и меняться не будут. Второй точки не получим, ничего не посчитаем.
Если же на $R_{\text{Вых1}}$ есть постоянное напряжение, а $R_{\text{Вых1}}$ меняется, то мы получим.... Некий генератор - источник переменного напряжения. По этому для определения выходного сопротивления каскада нагрузка меняется на некий ("пробный") источник малого сигнала.

Итого:
0. Глядим на картинку и запоминаем: измеряем справа - изменяем слева. И наоборот: изменяем справа - измеряем слева.
1. Для измерения входного сопротивления каскада на схеме замещения:
а) на вход подключаем пробный генератор (источник сигнала).
б) не забываем подключить нагрузку.
в) находим $u_{\text{Вх}}$ и $i_{\text{Вх}}$, делим одно на другое и получаем входное сопротивление.
г) для этого весь каскад, включая нагрузку, приводим к одному двуполюснику (одному сопротивлению).

2. Для измерения выходного сопротивления каскада на схеме замещения:
а) Закорачиваем вход (или подключаем на вход выходное сопротивление предыдущего каскада, если оно не ноль).
б) вместо нагрузки ставим пробный генератор.
в) находим $u_{\text{Вых}}$ и $i_{\text{Вых}}$, делим одно на другое и получаем вЫходное сопротивление.
г) для этого весь каскад, включая выходное сопротивление предыдущего каскада, приводим к одному двуполюснику (одному сопротивлению).

3. Сопротивление нагрузки (входное сопротивление следующего каскада) может влияет на входное сопротивление каскада, а выходное сопротивление предыдущего каскада может влиять на выходное сопротивление рассматриваемого каскада. Это наиболее ярко видно для ЭП.

Надеюсь, теперь эта тема стала более понятна. И эта - тоже.

-- 13.05.2022, 19:35 --

EUgeneUS в сообщении #1554488 писал(а):

б) вместо нагрузки ставим пробный генератор.

Конечно, в реальных схемах так делать нельзя.
Но на схеме замещения для малого сигнала, в качестве мысленного эксперимента - можно. В прочем, если схема включает только пассивные линейные элементы, то это сработает и для реальной схемы.