Термодинамика

[Stensen]

Всех с наступающим праздником! Помогите решить задачу.
В расположенном горизонтально цилиндре, слева от закрепленного поршня находится идеальный одноатомный газ в количестве $\nu = 1 $ моль. В правой части цилиндра вакуум, а пружина, расположенная между поршнем и стенкой, не деформирована (см.рис.). Цилиндр теплоизолирован от окружающей среды. Когда поршень освободили, объем, занимаемый газом, увеличился вдвое. Найти конечную температуру и давление, если первоначальная температура $ T_1$, а давление $p_1$. Теплоемкости цилиндра, поршня и пружины пренебрежимо малы.


1. из ЗСЭ: $U_1=U_2 + \frac{kx^2}{2}$ , где: $U_1=\frac{3}{2} \nu RT_1, \,\, U_2=\frac{3}{2}\nu RT_2 $ - внутренняя энергия газа в начальном и конечном состояниях, соответственно. Энергия сжатой пружины, она же - это работа, совершенная газом против силы упругости пружины за счет убыли внутренней энергии в адиабатическом процессе.
2.
$p_1 V_1=\nu RT_1$
$p_2 \cdot 2 V_1=\nu RT_2$. Могу найти соотношение: $p_2=\frac{T_1}{2p_1}T_2$. Далее тупик, не хватает данных. Как с этим жить ?

[Geen]

Stensen в сообщении #1554022 писал(а):

Как с этим жить ?

Давление куда-нибудь применить.

[Larrot]

Stensen
Воспользуйтесь тем, что процесс адиабатический и напишите еще одно уравнение.

[GraNiNi]

Stensen в сообщении #1554022 писал(а):

идеальный одноатомный газ

Без показателя адиабаты - не обойтись.

[Stensen]

GraNiNi в сообщении #1554034 писал(а):

Без показателя адиабаты - не обойтись.

Тогда видимо так: $p_1 V_1 ^\gamma = p_2 V_2^\gamma$ , где: $\gamma = \frac{i+2}{i}= 1,66$ ; $V_2=2V_1$

$p_2=p_1 2^{-\gamma}$ и $T_2=\frac{2p_1p_2}{T_1}$. Все ли верно?

[rascas]

Stensen в сообщении #1554036 писал(а):

$T_2=\frac{2p_1p_2}{T_1}$

Формула не проходит проверку на размерность.

[Stensen]

rascas в сообщении #1554037 писал(а):

Stensen в сообщении #1554036 писал(а):

$T_2=\frac{2p_1p_2}{T_1}$

Формула не проходит проверку на размерность.

Да, погорячился. $T_2=T_1 \frac{2p_2}{p_1}$

[GraNiNi]

Stensen в сообщении #1554040 писал(а):

Да, погорячился.

И очень сильно.
В обеих формулах (для давления и температуры) - ошибки. Проверяйте.

[Geen]

Stensen в сообщении #1554036 писал(а):

Все ли верно?

Нет. "Адиабата" тут ни при чём. Вам надо избавляться от некого $k$ и некого $x$ в первой формуле.

[GraNiNi]

GraNiNi в сообщении #1554045 писал(а):

Проверяйте.

Прошу прощения, теперь погорячился я.

Обратите внимание на пост уважаемого Geen.

[DimaM]

Larrot в сообщении #1554026 писал(а):

Воспользуйтесь тем, что процесс адиабатический и напишите еще одно уравнение.

Процесс НЕ адиабатический и вообще неравновесный.

Stensen в сообщении #1554022 писал(а):

Далее тупик, не хватает данных. Как с этим жить ?

В конце поршень находится в механическом равновесии.

[Larrot]

DimaM в сообщении #1554096 писал(а):

Процесс НЕ адиабатический и вообще неравновесный.

Упс...

Ну я лишь хотел сказать:

$$Q=\Delta U + A,$$

$$0=\Delta U + A=\nu C_{\nu}(T_{2}-T_{1}) + \dfrac{kx^2}{2},$$

что совпадает с первым уравнением ТС. Нужно читать внимательнее...

Stensen

Как уже сказали, в конце сила давления газа ($p_{2}$) равна силе реакции сжатой пружины. Как выразить сжатие через изменение объема и площадь думаю понятно. Останется только переписать ваши два уравнения в этих терминах и найти все, что нужно.

[sergey zhukov]

Stensen
Разве это не задача, которая проще формулируется так "моль идеального газа с параметрами $T_1$ и $P_1$ адиабатически расширился вдвое. Найти $T_2$ и $P_2$"?

[GraNiNi]

sergey zhukov в сообщении #1554127 писал(а):

Разве это не задача, которая проще формулируется так "моль идеального газа с параметрами $T_1$ и $P_1$ адиабатически расширился вдвое. Найти $T_2$ и $P_2$"?

Я тоже сначала так подумал, но тогда была бы не нужна пружина.

[sergey zhukov]

GraNiNi
Да она и не нужна.