Элемент пр-ва Соболева

[artempalkin]

Начал изучать пространство Соболева $W_2^1=H^1$. С некоторыми умственными усилиями, которые раньше не приходилось прикладывать, удалось понять, что и как.
Но вот тут у меня есть два вопроса, ответы на которые мне помогли бы понять суть лучше.

1) Фундаментальная теорема относительно пр-ва Соболева $H^1$ состоит в том, что $H^1[0;1]\subset C[0;1]$. В этой теореме в целом все понятно. Но не совсем понятно, как широко распространяется класс $H^1[0;1]$ внутри $C[0;1]$. Подозреваю, что достаточно широко. Будут ли в $H^1$ непрерывные функции, у которых производная имеет разрыв в одной точке? в двух точках? в, скажем, счетном числе точек?
Подозреваю, что всюду НЕдифференцируемые функции (при этом непрерывные) не будут в $H^1$ (т.к. в таком случае $H^1=C$ по всей видимости). Но где, хотя бы примерно, "граница" $H^1$?

2) Понятно, что все непрерывно дифференцируемые функции принадлежат $H^1$. Но нигде я не смог найти примера какой-нибудь более интересной функции из $H^1$. Подскажите, есть ли какой-то интересный пример?

[thething]

artempalkin в сообщении #1553836 писал(а):

Подскажите, есть ли какой-то интересный пример?

Не знаю, интересный или нет, но вот такой: $f(x)=\sqrt{x-x^2}$ непрерывна, но не лежит в $H^1(0,1)$. Видимо, это пример для первого Вашего вопроса.

[novichok2018]

1) ответы известны: функции из аш 1 это в точности абсолютно непрерывные функции, у них есть непрерывность и производные почти всюду. Точнее не скажешь, наверное.

[artempalkin]

thething в сообщении #1553838 писал(а):

Не знаю, интересный или нет, но вот такой: $f(x)=\sqrt{x-x^2}$ в $H^1(0,1)$.

Немножко не такой, какой я ожидал (я ожидал какую-нибудь где-нибудь не дифференцируемую функцию), но тем, возможно, и интереснее.
Получается, что это функция вообще-то всюду дифференцируемая, но ее производная не принадлежит $L_2$, а значит сама функция так сразу непонятно, принадлежит ли $H^1$. Вы говорите, что принадлежит, а значит у нее есть некоторая обобщенная производная, уже принадлежащая $L_2$... Но чтобы ее найти, нужно найти последовательность, сходящуюся к $f(x)$ в $L_2$, так еще и последовательность ее производных в $L_2$ должна к чему-то сойтись...

[thething]

artempalkin в сообщении #1553840 писал(а):

Вы говорите, что принадлежит

Я так не говорил. Я имел ввиду рассмотреть пример в $H^1$. Исправил первое сообщение.

[mihaild]

novichok2018 в сообщении #1553839 писал(а):

1) ответы известны: функции из аш 1 это в точности абсолютно непрерывные функции

Абсолютно непрерывные функции - это $W_1^1$ а не $W_2^1$.

[artempalkin]

thething в сообщении #1553841 писал(а):

Я так не говорил. Я имел ввиду рассмотреть пример в $H^1$. Исправил первое сообщение.

Ааа, понял. Но, кстати, откуда следует, что она не принадлежит $H^1$? Мало ли, вдруг у нее найдется обобщенная производная, как я ее описал

artempalkin в сообщении #1553840 писал(а):

Но чтобы ее найти, нужно найти последовательность, сходящуюся к $f(x)$ в $L_2$, так еще и последовательность ее производных в $L_2$ должна к чему-то сойтись...

[thething]

artempalkin в сообщении #1553844 писал(а):

Мало ли, вдруг у нее найдется обобщенная производная, как я ее описал

Обобщённая производная у неё есть (определение в смысле интегрирования по частям) -- и она совпадает с классической, но вот в $L_2$ она не лежит.

[artempalkin]

thething в сообщении #1553845 писал(а):

Обобщённая производная

То есть в каком-то другом смысле обобщенная производная? Ну да, но я пытаюсь разобраться в $H^1$. Вдруг у нее есть обобщенная производная в смысле $H^1$, лежащая в $L_2$? Неочевидно, что нет, кажется.

[thething]

artempalkin в сообщении #1553846 писал(а):

То есть в каком-то другом смысле обобщенная производная?

Я не знаю, про какой смысл говорите Вы, Вы же не привели определения, которое используете (описание не в счёт). Для меня классическое определение обобщённой производной -- это $\displaystyle\int\limits_0^1u\varphi dx=-\displaystyle\int\limits_0^1f\varphi' dx$, где $u$ -- обобщённая производная $f$, $\varphi$ -- бесконечно гладкая финитная.

[artempalkin]

thething в сообщении #1553847 писал(а):

Я не знаю, про какой смысл говорите Вы, Вы же не привели определения, которое используете (описание не в счёт).

Я понимаю так.

Что означает, что $u\in H^1$? По сути это означает, что $\exists u_n$ - непрерывно дифференцируемые такие, что

$$u_n\stackrel{L_2}{\to}u\in L_2$$

$$u_n'\stackrel{L_2}{\to} v\in L_2$$

И в таком случае $v$ называется обобщенной производной $u$.

[thething]

artempalkin в сообщении #1553848 писал(а):

Я понимаю так.

Вообще-то понятие обобщённой производной не зависит от понятия пространства $H^1$. Скорее всё делается наоборот. Сперва вводится понятие обобщённой производной, а потом уже определяется $H^1$, как пространство, состоящее из функций, лежащих в $L_2$ вместе с обобщёнными производными первого порядка.

Можно поизвращаться с моим примером так: предположите, что всё верно, запишите интегральное тождество для последовательностей, умноженных на $\varphi$, перейдите к пределу -- и получите противоречие.

[demolishka]

artempalkin, докажите, что $W^{1,2}(a,b)$ это такие функции $f \in L_{2}(a,b)$, что для некоторой функции $g \in L_{2}(a,b)$ выполнена формула Ньютона-Лейбница:

$$f(x) = f(a) + \int_{a}^{x}g(y)dy.$$

Это можно делать из разных соображений. Отсюда все вопросы решатся автоматически.

[artempalkin]

thething в сообщении #1553850 писал(а):

Вообще-то понятие обобщённой производной не зависит от понятия пространства $H^1$.

Ага, вероятно. Наверное, это для каких-то более математических математиков. Моисеев для студентов ВМК определяет пр-во Соболева, а для его элементов уже обобщенные производные.

thething в сообщении #1553850 писал(а):

Можно поизвращаться с моим примером так: предположите, что всё верно, запишите интегральное тождество для последовательностей, умноженных на $\varphi$, перейдите к пределу -- и получите противоречие.

Хорошо, попробую что-то сделать

[novichok2018]

mihaild Абсолютно непрерывные функции - это $W_1^1$ а не $W_2^1$ -разве? Тут может быть путаница, какой индекс что значит. Мне кажется, что аш 1 - это гильбертово пространство функций из эль два, у которых есть первая обобщённая производная. Это в точности абсолютно непрерывные функции в одномерном случае, в других нет.