Интерполяция и децимация, чтобы избежать размытия рез. ДПФ

[Kevsh]

Допустим, у меня есть 16 отсчётов дискретного сигнала такого вида: $y=2\sin(2\pi f\cdot kt_s)+\sin(4\pi f\cdot kt_s)$. Пусть частота дискретизации $f_s=480\text{ Гц}$, входная частота $f=50\text{ Гц}$. Тут понятно, что будет размытие, причём обеих гармоник: $50$ и $100$ не кратны $\frac{480}{16}=30$. Чтобы избежать размытия, можно прибегнуть либо к окну, либо к изменению частоты дискретизации – с первым способом я уже разобрался, а вот со вторым проблемы. Можно интерполировать сигнал (вставить одинаковое количество нулей между отсчётами), можно сделать децимацию (брать каждый n-ый отсчёт). То есть мы сначала интерполируем, потом децимируем (есть ли такое слово вообще?), потом вычисляем преобразование Фурье и получаем неразмытый сигнал, ну в идеальном случае, конечно. Правильно ли я понимаю, что после таких действий количество отсчётов результата будет отличаться от исходных 16? Наша задача – изменить шаг частоты таким образом, чтобы на него делилась одна из исходных частот. Как это сделать, если с изменением частоты дискретизации изменяется и количество отсчётов, после чего этот шаг остаётся плюс-минус таким же?
Вот, как я хотел сделать:
Я еще не думал, что количество отсчётов поменяется, почему-то мне казалось, что оно будет таким же. Я хотел сделать частоту $f_s=400\text{ Гц}$, чтобы получилось $\frac{400}{16}=25$. Нужно интерполировать на 5 и децимировать на 6. Но получилось следующее: я вставил по 4 нуля между соседними отсчётами (и после последнего), в результате получил 80 отсчётов. Удалил "фантомы". Взял каждый 6-й отсчёт. Получилось 13 отсчётов. Ну и получилось $\frac{400}{13}\approx 30$. А как тогда убрать размытие ?

[Евгений Машеров]

А никак. De nihilo nihil.
Можно ослабить его, размытия, действие, например, выбором окон. Хотя они скорее заменяют "частотный дребезг" аккуратным размытием.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Kevsh в сообщении #1553128 писал(а):

децимируем (есть ли такое слово вообще?)

Производим децимацию. Можете, конечно, говорить «децимируем», но я слышал, что каждого десятого, кто так делает, казнят.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Это в либеральном Риме. Ныне казнят 9 из каждых десяти отсчётов...

[Евгений Машеров]

Такая схема, дополнение нулями, интерполяция и фильтрация, не то, чтобы не работает. Но дать желаемое, точную, "без размытия", оценку амплитуды и фазы сигнала с частотой, не попадающей на "гребёнку", не сможет. Приближённое решение - будет. Момент искажения - интерполяция. Если через фильтр - то в силу несовершенства фильтра, а оно продукт не недомыслия математиков, а соотношения неопределённостей. Если собственно интерполяция каким-нибудь полиномом - то и там будет погрешность.
В постановке явно объявлено, что нужны две частоты, 50Гц и 100Гц. Если достоверно известно, что синусоидальных компонент в сигнале лишь две, но неизвестны их частоты, то стоит вместо БПФ (или ДПФ) поиграть с авторегрессией. 4 порядок как раз на 2 пика. А если и частоты известны (прикинусь не то бабой Вангой, не то телепатом Вольфом Мессингом - это не сетевая частота и первая гармоника, продукт диодного моста в выпрямителе, с которого снимают пульсирующий 100Гц?), то полезна может быть комплексная демодуляция.