Задачка из теории игр

[xatkaru]

(ну, может, эта-то как раз к матану относится))))
Пусть имеется матрица А m*n,
$X=\{x \in \mathbb{R}^m : \sum\limits_{i=1}^m x_i = 1, x_i\geqslant 0, \forall i=\overline{1,m}\}, Y=\{y \in \mathbb{R}^n : \sum\limits_{j=1}^n y_j = 1, y_j\geqslant0, \forall j=\overline{1,n}\}$
Функция H(x,y) задана следующим образом:
$H(x,y)=xAy$
требуется доказать, что H(x,y) непрерывна на прямом произведении X и Y и является выпуклой по $y \in Y$ и вогнутой по $x \in X$
Причем непрерывность - равномерная (и доказать это надо через эпсилон-дельта).

[Руст]

О какой выпуклости говорите? Функции линейные и по х и по у. То, что X и Y не образует линейного пространства (из-за ограничений сумма равна 1) но образуют аффинное пространство не нарушает линейность H(ax1+bx2,y)=aH(x1,y)+bH(x2,y). Единственное отличие линейная комбинация определена на некотором отрезке прямой a+b=1, содержащей сегмент [0,1] по а.
Что касается непрерывности, оно устанавливается просто введением норм в виде сумм абсолютных величин элементов матриц. X считаем матрицей 1*m, A - m*n, Y - n*1.

[xatkaru]

У меня равномерность непрерывности не получается (((

[er]

xatkaru писал(а):

У меня равномерность непрерывности не получается (((

Непрерывность понятна? Равномерная непрерывность вытекает из общей теоремы, того, что H непрерывна и $X\times Y$ компактно (=замкнутое ограниченное подмножество $\mathbb{R}^{m+n}$).

Да и непосредственно понятно, хотя зануднее:

1. существует константа $C$, для которой $|H(x,y)|\le C|x||y|$ для всех $x\in \mathbb{R}^m, y\in \mathbb{R}^n$.
2. $|x|\le 1, |y|\le1$ для $x\in X, y\in Y$
3. $|H(x+x',y+y')-H(x,y)|=|H(x,y')+H(x',y)+H(x',y')|\le C(|x'|+|y'|+|x'||y'|)$

Из 3 для эпсилона дельта находится.

[xatkaru]

er, H(x,y)<=С|x||y| - это следует из ограниченности множества?

[er]

xatkaru писал(а):

er, H(x,y)<=С|x||y| - это следует из ограниченности множества?

Нет, ограниченность (2) в 3 используется. А 1 вытекает из билинейности H, C=max{|H(x,y)|: |x|<=1, |y|<=1}, |H(x,y)|=|H(x/|x|,y/|y|)|x||y|<= C |x||y|
Тут |x||y| != 0, если |x||y| = 0, то |H(x,y)|=0<= C |x||y|=0.

Это непосредственное доказательство равномерной непрерывности. А общая теорема гласит, что непрерывное отображение, определенное на компактном (для R^n - ограниченном замкнутом) множестве, равномерно непрерывна.

[xatkaru]

Интересно, а из определения функции
$H(x,y)=xAy$, где $A=(a_{ij}), a_{ij}=F(x_i,y_j)$ F - таблично заданная функция
Можно как-то эпсилон и дельту выразить через эту матрицу? Тогда ведь тоже будет равномерная непрерывность!