2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка из теории игр
Сообщение31.03.2006, 17:25 
Аватара пользователя


18/02/06
61
Moscow
(ну, может, эта-то как раз к матану относится))))
Пусть имеется матрица А m*n,
$X=\{x \in \mathbb{R}^m : \sum\limits_{i=1}^m x_i = 1, x_i\geqslant 0,  \forall i=\overline{1,m}\}, Y=\{y \in \mathbb{R}^n : \sum\limits_{j=1}^n y_j = 1, y_j\geqslant0,   \forall j=\overline{1,n}\}$
Функция H(x,y) задана следующим образом:
$H(x,y)=xAy$
требуется доказать, что H(x,y) непрерывна на прямом произведении X и Y и является выпуклой по $y \in Y$ и вогнутой по $x \in X$
Причем непрерывность - равномерная (и доказать это надо через эпсилон-дельта).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2006, 17:53 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
О какой выпуклости говорите? Функции линейные и по х и по у. То, что X и Y не образует линейного пространства (из-за ограничений сумма равна 1) но образуют аффинное пространство не нарушает линейность H(ax1+bx2,y)=aH(x1,y)+bH(x2,y). Единственное отличие линейная комбинация определена на некотором отрезке прямой a+b=1, содержащей сегмент [0,1] по а.
Что касается непрерывности, оно устанавливается просто введением норм в виде сумм абсолютных величин элементов матриц. X считаем матрицей 1*m, A - m*n, Y - n*1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2006, 17:58 
Аватара пользователя


18/02/06
61
Moscow
У меня равномерность непрерывности не получается (((

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.03.2006, 19:24 


06/03/06
150
xatkaru писал(а):
У меня равномерность непрерывности не получается (((


Непрерывность понятна? Равномерная непрерывность вытекает из общей теоремы, того, что H непрерывна и $X\times Y$ компактно (=замкнутое ограниченное подмножество $\mathbb{R}^{m+n}$).

Да и непосредственно понятно, хотя зануднее:

1. существует константа $C$, для которой $|H(x,y)|\le C|x||y|$ для всех $x\in \mathbb{R}^m, y\in  \mathbb{R}^n$.
2. $|x|\le 1, |y|\le1$ для $x\in X, y\in Y$
3. $|H(x+x',y+y')-H(x,y)|=|H(x,y')+H(x',y)+H(x',y')|\le C(|x'|+|y'|+|x'||y'|)$

Из 3 для эпсилона дельта находится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 18:23 
Аватара пользователя


18/02/06
61
Moscow
er, H(x,y)<=С|x||y| - это следует из ограниченности множества?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2006, 18:59 


06/03/06
150
xatkaru писал(а):
er, H(x,y)<=С|x||y| - это следует из ограниченности множества?


Нет, ограниченность (2) в 3 используется. А 1 вытекает из билинейности H, C=max{|H(x,y)|: |x|<=1, |y|<=1}, |H(x,y)|=|H(x/|x|,y/|y|)|x||y|<= C |x||y|
Тут |x||y| != 0, если |x||y| = 0, то |H(x,y)|=0<= C |x||y|=0.

Это непосредственное доказательство равномерной непрерывности. А общая теорема гласит, что непрерывное отображение, определенное на компактном (для R^n - ограниченном замкнутом) множестве, равномерно непрерывна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2006, 18:20 
Аватара пользователя


18/02/06
61
Moscow
Интересно, а из определения функции
$H(x,y)=xAy$, где $A=(a_{ij}), a_{ij}=F(x_i,y_j)$ F - таблично заданная функция
Можно как-то эпсилон и дельту выразить через эту матрицу? Тогда ведь тоже будет равномерная непрерывность!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group