Волновая функция - вероятность или физическое поле?

[Ruslan_Sharipov]

Пусть нерелятивистская квантовая частица массы $m$ заключена в прямоугольном ящике с непроницаемыми стенками (в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками) и находится в основном состоянии. Это модельная задача квантовой механики с простой геометрией, которая легко решается без сложной математики. Теперь представим себе, что одна из стенок начинает задвигаться внутрь ящика, уменьшая его объем. При этом все уровни энергии частицы сдвинутся вверх, включая и энергию основного состояния. Энергия частицы возрастёт. Откуда возьмётся дополнительная энергия и как она передастся частице? Если волновая функция частицы понимается как физическое поле, то есть если частица реально размазана по всему объёму ящика, то всё легко объясняется. Физическое поле частицы оказывает давление на стенки ящика и в процессе задвигания стенки мы совершаем работу против силы давления, увеличивая тем самым энергию, заключённую в физическом поле частицы. Когда же волновая функция понимается как способ описания вероятности нахождения частицы в том или ином месте ящика, то здесь возникает трудность. Действительно, если задвигание стенки происходит достаточно быстро, то имеется определённая вероятность того, что за время перемещения стенки из одного положения другое частица ни разу не столкнётся с движущейся стенкой и не получит никакого шанса на переход энергии от стенки к ней. За счёт чего в этой ситуации увеличится энергия частицы?

Я знаю, что вероятностная интерпретация волновой функции является общепринятой парадигмой в физике на сегодняшний день. Поэтому хотелось бы услышать объяснение описанной выше ситуации в рамках общепринятой парадигмы.

[upgrade]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1552333 писал(а):

При этом все уровни энергии частицы сдвинутся вверх, включая и энергию основного состояния. Энергия частицы возрастёт.

Это почему?

[Ruslan_Sharipov]

upgrade в сообщении #1552361 писал(а):

Это почему?

В Вашем вопросе я слышу два вопроса: 1) почему сдвинутся вверх уровни энергии 2) почему возрастёт энергия частицы? Ответ на первый вопрос содержится в формуле для для уровней энергии:

$$E(n_1,n_2,n_3)=\frac{\pi^2\,\hbar^2}{2\,m}\Bigl(\frac{n_1^2}{a_1^2}+\frac{n_2^2}{a_2^2}+\frac{n_3^2}{a_3^2}\Bigr).\eqno{(1)}$$

Здесь $n_1, n_2, n_3$ — квантовые числа. В данном случае это целые числа от единицы и выше (см. ссылку). Числа $a_1,a_2,a_3$ в знаменателях — это размеры ящика. Если хотя бы один из них уменьшается, то все уровни энергии сдвигаются вверх.

Теперь отвечу на второй Ваш вопрос. При перемещении стенки ящика частица остаётся внутри, поскольку стенки ящика непроницаемы. После перемещения стенки и её фиксации в новом положении волновая функция частицы изменится. Как изменится — это отдельный вопрос. Но в любом случае согласно общепринятой парадигме она останется квадратично интегрируемой функцией, нормированной на единицу в новом объёме ящика. Такая функция раскладывается по собственным функциям оператора энергии, собственные числа которого даются формулой (1). Все они больше чем энергия основного состояния частицы до изменения размеров ящика. Согласно стандартной парадигме, выполнив измерение энергии, Вы переведёте частицу в чистое состояние с фиксированной энергией и в качестве результата измерения с определённой вероятностью получите одно из значений энергии, даваемых формулой (1). В любом случае это значение будет больше, чем энергия основного состояния, в котором частица находилась до изменения размеров ящика.

[zykov]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1552333 писал(а):

Физическое поле частицы оказывает давление на стенки ящика и в процессе задвигания стенки мы совершаем работу против силы давления

Это верно.

[upgrade]

Ruslan_Sharipov
Мне добавить нечего, все верно.

Ruslan_Sharipov в сообщении #1552333 писал(а):

За счёт чего в этой ситуации увеличится энергия частицы?

Здесь, возможно, тот же подход - просто считаем. Такая же ситуация с обратным знаком - помещаем частицу просто в яму (даже широкую), а затем убираем стенки - куда девалась энергия частицы, ведь она про стенки ямы ещё ничего "узнать" не успела.

[artur_k]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1552333 писал(а):

Действительно, если задвигание стенки происходит достаточно быстро, то имеется определённая вероятность того, что за время перемещения стенки из одного положения другое частица ни разу не столкнётся с движущейся стенкой и не получит никакого шанса на переход энергии от стенки к ней. За счёт чего в этой ситуации увеличится энергия частицы?

Но через какое-то время $\Delta t$ частица со стенкой столкнется, и вам придется затратить энергию, чтобы удержать стенку на месте. Вот за счет этой энергии и увеличиться энергия частицы. А поскольку $\Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}$, то в течении времени $\Delta t$ энергия частицы может отличаться от энергии, определяемой размером ящика на $\Delta E$.

[upgrade]

artur_k в сообщении #1552418 писал(а):

вам придется затратить энергию, чтобы удержать стенку на месте. Вот за счет этой энергии и увеличиться энергия частицы.

Даже если так, для разных барьеров разная энергия, при этом высота барьеров одинаково бесконечная.

[DimaM]

artur_k в сообщении #1552418 писал(а):

и вам придется затратить энергию, чтобы удержать стенку на месте

На удержание энергия не нужна. Сила нужна, но работы она не совершает.

[artur_k]

DimaM в сообщении #1552422 писал(а):

На удержание энергия не нужна. Сила нужна, но работы она не совершает.

Да, вы конечно правы. Но мне все равно кажется, что для ответа на вопрос Ruslan_Sharipov надо учитывать принцип неопределенности. Может, при перемещении стенки мы затратим эту энергию "взаймы", а после взаимодействия частицы со стенкой - она передастся частице?

[Ruslan_Sharipov]

Отложив на время основную проблему, сформулированную в первом сообщении темы, и оставаясь в рамках общепринятой вероятностной интерпретации волновой функции, предлагаю решить следующую вспомогательную задачу.

Задача. Нерелятивистская квантовая частица массы $m$ заключена в прямоугольном ящике с непроницаемыми стенками размером $a_1\times a_2\times a_3$, ориентированном вдоль осей координат $x$, $y$, $z$, и находится в основном энергетическом состоянии. Ось $x$ считаем горизонтальной и направленной слева направо. Пусть $\tau$ — некоторая положительная константа, имеющая размерность времени. Найти вероятность того, что частица находится в левой половине ящика и при этом $x$-овая компонента её скорости направлена влево и по величине не превышает $a_1/(2\,\tau)$.

[Arks]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1552444 писал(а):

вероятностной интерпретации волновой функции

Что такое вероятностная интерпретация? Вероятность это квадрат модуля волновой функции, как фазу будете интерпретировать

[Ruslan_Sharipov]

При обсуждении второй (вспомогательной) задачи из сообщения №10 в теме в рамках одной из встреч однокурсников FOPF1977 Zoom Meeting Владимир Травин заметил, что координата и скорость (импульс) являются некоммутирующими квантовыми величинами, которые не могут быть точно измерены одновременно. И хотя в задаче для них указываются не точные значения, а диапазоны значений, некоммутативность координаты и скорости делает ответ принципиально зависящим от измерительного прибора, который будет использоваться для измерения этих величин и соответствующих вероятностей. Поэтому задача должна быть переформулирована. В первом сообщении темы содержатся слова "имеется определённая вероятность того, что за время перемещения стенки из одного положения другое частица ни разу не столкнётся с движущейся стенкой и не получит никакого шанса на переход энергии от стенки к ней". Вспомогательная задача призвана оправдать эти слова.

Начнём с рассмотрения классической ситуации. Пусть $x=0$ и $x=a_1$ — положения стенок ящика, перпендикулярных оси $x$-ов. Пусть $x$ — первая их трёх координат частицы и пусть $v_x$ — проекция скорости частицы на ось $x$-ов. Тогда за время $\tau$ частица переместится в новое положение и её новая $x$-овая координата определится формулой $x+v_x\,\tau$. Если будут выполнены неравенства

$$0<x+v_x\,\tau<a_1,\eqno{(2)}$$

то за время $\tau$ частица не столкнётся ни с одной из двух стенок, перпендикулярных оси $x$-ов. В квантовой механике классической величине $x+v_x\,\tau$ соответствует квантовый оператор

$$\hat\Theta=\hat x+\frac{\hat p_x\,\tau}{m}=x-\frac{i\,\hbar\,\tau}{m}\,\frac{\partial}{\partial x}.\eqno{(3)}$$

С учётом формулы (3) вторая вспомогательная задача переформулируется так.

Задача. Нерелятивистская квантовая частица массы $m$ заключена в прямоугольном ящике с непроницаемыми стенками размером $a_1\times a_2\times a_3$ и находится в основном энергетическом состоянии. Одна из вершин ящика находится в начале координат, а его рёбра, исходящие из этой вершины, направлены в положительном направлении вдоль осей координат. Показать, что найдётся положительная константа $\tau$, имеющая размерность времени, для которой отлична от нуля вероятность того, что квантовая величина $\Theta$, задаваемая оператором (3), принимает значения из интервала $0<\Theta<a_1$.

[kzv]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1552333 писал(а):

Действительно, если задвигание стенки происходит достаточно быстро, то имеется определённая вероятность того, что за время перемещения стенки из одного положения другое частица ни разу не столкнётся с движущейся стенкой

Я думаю проблема в понимании вероятностной интерпретации. Эта интерпретация подразумевает, что мы не имеем права думать о том, что частица с чем-то там сталкивается или вообще есть в ящике, до тех пор, пока не проведем измерение. Если же мы начнем так думать, то придем к противоречиям.
Изменение энергии частицы в ящике с движущейся стенкой можно найти как функцию $E_n(t)$ если решить уравнение Шредингера. Волновые функции будут меняться так же как если бы внутри ящика была не частица, а натянутая струна (физическое поле), но это не значит, что функции - это физическое поле. Потому что для каких-то более сложных систем волновые функции могут оказаться комплексными, а не вещественными как в решении для потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками.

[upgrade]

Ruslan_Sharipov в сообщении #1552333 писал(а):

За счёт чего в этой ситуации увеличится энергия частицы?

Скорее всего дело в том, что у реальных потенциальных ям нет четких границ. Поэтому сдвигание стенок ямы на самом деле - это изменение конфигурации системы "поле с частицей", которое в свою очередь требует затрат энергии.

[Ruslan_Sharipov]

upgrade в сообщении #1553581 писал(а):

Скорее всего дело в том, что у реальных потенциальных ям нет четких границ.

Удивительно, но у частицы ящике с непроницаемыми стенками есть реальный прототип - это нейтронная бутылка с ультрахолодными нейтронами. По ссылке http://nuclphys.sinp.msu.ru/mirrors/m026.htm можно найти следующий текст.

В самый разгар лета 1968 года в Дубне в Лаборатории нейтронной физики впервые наблюдалось удивительное явление: удержание очень медленных нейтронов в сосуде из обычного вещества. Свободные нейтроны, вылетев из замедлителя реактора ИБР, попадали в вакуумированную медную трубу и в течение 300 секунд удерживались в этой трубе, постоянно сталкиваясь с ее стенкой, что и ограничивало свободу этих нейтронов. Таким образом, удерживаемое в трубе облако из нейтронов напоминало поведение обычного сильно разреженного газа, молекулы которого свободно летали от стенки к стенке сосуда, в котором они заключены. В 1975 году это явление было зарегистрировано как открытие, авторами которого стали: Я.Б.Зельдович из Института химической физики и сотрудники ЛНФ В.И.Лущиков, Ю.Н.Покотиловский, А.В.Стрелков и Ф.Л.Шапиро.

Размытость границ медной трубы в описанном эксперименте определяется шероховатостью её поверхности. Но даже при очень грубо обработанной поверхности эта шероховатость на порядки меньше размеров её внутреннего объёма. По той же ссылке говорится, что диаметр медной трубы был 10 см, а её длина 10 м.