При обсуждении второй (вспомогательной) задачи из сообщения
№10 в теме в рамках одной из встреч однокурсников
FOPF1977 Zoom Meeting Владимир Травин заметил, что координата и скорость (импульс) являются некоммутирующими квантовыми величинами, которые не могут быть точно измерены одновременно. И хотя в задаче для них указываются не точные значения, а диапазоны значений, некоммутативность координаты и скорости делает ответ принципиально зависящим от измерительного прибора, который будет использоваться для измерения этих величин и соответствующих вероятностей. Поэтому задача должна быть переформулирована. В
первом сообщении темы содержатся слова "
имеется определённая вероятность того, что за время перемещения стенки из одного положения другое частица ни разу не столкнётся с движущейся стенкой и не получит никакого шанса на переход энергии от стенки к ней". Вспомогательная задача призвана оправдать эти слова.
Начнём с рассмотрения классической ситуации. Пусть

и

— положения стенок ящика, перпендикулярных оси

-ов. Пусть

— первая их трёх координат частицы и пусть

— проекция скорости частицы на ось

-ов. Тогда за время

частица переместится в новое положение и её новая

-овая координата определится формулой

. Если будут выполнены неравенства

то за время

частица не столкнётся ни с одной из двух стенок, перпендикулярных оси

-ов. В квантовой механике классической величине

соответствует квантовый оператор

С учётом формулы (3) вторая вспомогательная задача переформулируется так.
Задача. Нерелятивистская квантовая частица массы

заключена в прямоугольном ящике с непроницаемыми стенками размером

и находится в основном энергетическом состоянии. Одна из вершин ящика находится в начале координат, а его рёбра, исходящие из этой вершины, направлены в положительном направлении вдоль осей координат. Показать, что найдётся положительная константа

, имеющая размерность времени, для которой отлична от нуля вероятность того, что квантовая величина

, задаваемая оператором (3), принимает значения из интервала

.