Сумма синусов с коэффициентами

[MestnyBomzh]

Пока я решал одну задачу я столнулся с проблемой максимизации функции $\cos(2 \pi t) + \cos(4 \pi t)$. В этот раз мне повезло (или задача так подобрана), что взяв производную, второй синус раскладывается по формуле двойного угла и дальше выносится за скобку. Но дальше я подумал, а как бы я оптимизировал задачу в общем случае, если бы не повезло с аргументом?
Поэтому вопрос, как можно решать уравнения вида $c_1 \sin(ax) + c_2 \sin(bx) = 0$, где $a \neq b$?

[nnosipov]

MestnyBomzh в сообщении #1553043 писал(а):

Поэтому вопрос, как можно решать уравнения вида $c_1 \sin(ax) + c_2 \sin(bx) = 0$, где $a \neq b$?

Если $a$ и $b$ --- целые числа, то уравнение сводится к алгебраическому относительно $\cos{x}$. В общем случае --- только приближенно.

[MestnyBomzh]

Я понял. Если они целые, то как тогда решать?

[nnosipov]

Сводить к алгебраическому заменой $y=\cos{x}$, его решать (находить $y$-ки), затем возвращаться к исходному неизвестному $x$.

[MestnyBomzh]

Вот вопрос как раз в том, как его свести к алгебраическому относительно косинуса. Потому что мне сначала надо как-то избавиться от аргумента $ax$ и сделать его $x$, аналогично с $bx$. Раскалдывать как синус суммы? $\sin(ax) = \sin(x + (a-1) x)$?

[nnosipov]

Докажите, что $\sin{(nx)}=\sin{x} \cdot P_{n-1}(\cos{x})$, где $P_{n-1}(y)$ --- многочлен степени $n-1$.

-- Вт апр 19, 2022 21:51:01 --

MestnyBomzh в сообщении #1553050 писал(а):

Раскалдывать как синус суммы?

Ну да. И рассуждать по индукции.

[Arks]

MestnyBomzh
Мне кажется, тут вообще производную брать не надо. Если $\frac{a}{b}$ рационально, то максимум равен $2$, если иррационально, то супремум равен $2$.

[worm2]

Arks
В случае иррационального $\frac{a}{b}$ интуиция вам не изменяет.
Но вот для рационального — увы, всё гораздо сложнее.

[ShMaxG]

worm2 в сообщении #1553161 писал(а):

Но вот для рационального — увы, всё гораздо сложнее.

По-моему как раз наоборот: $\cos{at}$ и $\cos{bt}$ достигают единицы в общей точке $t$ тогда и только тогда, когда $a/b$ рационально или $t=0$ и это элементарно по-школьному показывается. А по поводу иррациональных $a/b$ и супремумов нужно уже что-то привлекать.

Ну это, конечно, если речь идет о сумме косинусов с положительными коэффициентами. А если они разных знаков, то да, там хитрее...

[worm2]

Что-то меня осенило, если речь именно о сумме косинусов ($\cos(at)+\cos(bt)$), то задача становится тривиальной, даже при любом соотношении между $a$ и $b$: максимум равен 2, и он достигается в точке $t=0$ (если соотношение рациональное, то функция, очевидно, будет периодической, а значит, будет достигать этого значения в бесконечном числе точек).
Но если косинусы заменить на синусы (а я изначально именно их рассматривал, как всегда, смотрю не на формулировку задачи, а на что-то внутри своей головы), то, например, $\max(\sin(t)+\sin(2t))\approx 1.76$, $\max(\sin(t)+\sin(3t))\approx 1.54$, $\max(\sin(t)+\sin(4t))\approx 1.93$ (смотрел приблизительно по графику, аналитически не решал), никакой системности.

[wrest]

worm2 в сообщении #1553172 писал(а):

никакой системности.

Ну есть системность в том, что при $n=4k+1,k \in N$ максимум $\sin (x) + \sin (nx)$ таки равен двум

[Arks]

ShMaxG в сообщении #1553169 писал(а):

А по поводу иррациональных $a/b$ и супремумов нужно уже что-то привлекать.

Я привлек Арнольда Помню еще школьников прочел в его "Жестких и мягких мат моделях", что если у нас есть единичная окружность и точка с иррациональной координатой $a \in [0,1]$ на этой окружности, то если теперь мы будем последовательно увеличивать координату точки на ее изначальную, т.е. $na \mod(1)$, то получившееся семейство точек будет всюду плотно заполнять всю окружность

-- 21.04.2022, 20:58 --

worm2 в сообщении #1553172 писал(а):

Но если косинусы заменить на синусы (а я изначально именно их рассматривал, как всегда, смотрю не на формулировку задачи, а на что-то внутри своей головы), то, например, $\max(\sin(t)+\sin(2t))\approx 1.76$, $\max(\sin(t)+\sin(3t))\approx 1.54$, $\max(\sin(t)+\sin(4t))\approx 1.93$ (смотрел приблизительно по графику, аналитически не решал), никакой системности.

А вот $\sup(\sin(t)+\sin(at))=2$ при иррациональном $a$

[Евгений Машеров]

Свести к алгебраическому, конечно, можно. Но если a и b не 1 и 2, то решать уравнения более высокой степени сложно, а если среди a и b есть большее 4, то только численно. Так что придётся численно (нет, при 3 или 4 можно и Тарталью с Феррари вспомнить, но, кроме спортивного интереса, зачем?).
И второе - а точно есть смысл искать решения с очень большими аргументами? Без чего достичь супремума, равного двум, не выходит.