Найти наименьшее значение многочлена с 3 неизвестными

[Jester_Chicot]

Здравствуйте

Помогите решить задачу, пожалуйста:
"При каких значениях $a$, $b$, $c$ многочлен $F = 50a^2 + 61c^2 + 9b^2 - 30bc + 84ac + 142a + 12b - 20c + 5045$ принимает наименьшее значение? $a$, $b$, $c$ - действительные числа."

Как я понял, это парабола с ветвями вверх и одной точкой минимального значения. Но как её найти? Я предполагаю, что надо взять производную этого многочлена и приравнять к нулю. Только как тут брать производную, если есть 3 переменных $a$, $b$, $c$?

[alisa-lebovski]

По всем трем берите и приравниваете к нулю.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[nnosipov]

Jester_Chicot в сообщении #1552610 писал(а):

Как я понял, это парабола с ветвями вверх и одной точкой минимального значения. Но как её найти?

Постепенно: сначала по $a$, потом по $b$ и, наконец, по $c$.

[novichok2018]

К сумме квадратов нельзя привести?

[Jester_Chicot]

nnosipov в сообщении #1552688 писал(а):

Jester_Chicot в сообщении #1552610 писал(а):

Как я понял, это парабола с ветвями вверх и одной точкой минимального значения. Но как её найти?

Постепенно: сначала по $a$, потом по $b$ и, наконец, по $c$.

Вот как это делать надо?
Должно получиться $\dfrac{\partial F}{\partial a} + \dfrac{\partial F}{\partial b} + \dfrac{\partial F}{\partial c} = 0$? И что это даст - все равно 3 неизвестных.

[alisa-lebovski]

Jester_Chicot в сообщении #1552703 писал(а):

Должно получиться

Нет, каждую производную приравнять нулю по отдельности, будет 3 уравнения с 3 неизвестными.

[Jester_Chicot]

alisa-lebovski в сообщении #1552707 писал(а):

Jester_Chicot в сообщении #1552703 писал(а):

Должно получиться

Нет, каждую производную приравнять нулю по отдельности, будет 3 уравнения с 3 неизвестными.

А есть какой-то закон, который утверждает, что при $\frac{\partial F}{\partial a} = 0$, $\frac{\partial F}{\partial b} = 0$, $\frac{\partial F}{\partial c} = 0$ в ответе получатся числа, соответствующие тем, при которых $F' = 0$?
Я честно говоря раньше до производных трёх переменных не дорывался.

[Lia]

Jester_Chicot
Каков Ваш бэкграунд? Факультет, класс... ?

[alisa-lebovski]

Почитайте например http://www.mathprofi.ru/extremumy_funkc ... ennyh.html

[nnosipov]

Jester_Chicot в сообщении #1552703 писал(а):

Вот как это делать надо?

Нет, конечно, что за странные фантазии. Эта задача решается без всяких производных. Единственное, что нужно знать --- у параболы есть вершина (и мы знаем, естественно, как найти ее координаты).

[Jester_Chicot]

Lia в сообщении #1552711 писал(а):

Jester_Chicot
Каков Ваш бэкграунд? Факультет, класс... ?

1 закрытый семестр по специальности "электроэнергетика".

alisa-lebovski в сообщении #1552713 писал(а):

Почитайте например http://www.mathprofi.ru/extremumy_funkc ... ennyh.html

Понял, спасибо.

-- 16.04.2022, 20:04 --

Не особо верю, что кто-то заморочится, чтобы проверить мой ответ, но попытка не пытка:
$a = -71$
$b = \frac{2473}{18}$
$c = \frac{497}{6}$
Верно?

[waxtep]

Jester_Chicot в сообщении #1552721 писал(а):

$a = -71$
$b = \frac{2473}{18}$
$c = \frac{497}{6}$
Верно?

У меня такой же ответ получился

[Jester_Chicot]

Всем спасибо!