Доказательство равенства области значений матриц

[Alexey1]

Проверьте пожалуйста правильно ли решена следующая задача.
Дано $C_k = [B, AB , ..., A^{k-1}B], A \in R^{n \times n}, B \in R^{n \times m}$. Необходимо показать, что $R(C_k)=R(C_n)$ для $k \geqslant n$, то есть области значений матриц $C_k$ и $C_n$ равны.
Для доказательства используем теорему Кейли-Гамильтона, согласно которой любая матрица соответствует своему характеристическому уравнению. Следствием данной теоремы является, то, что если $f(q)$ любой полином, то существуют коэффициенты $a_i$ такие что $f(A)=a_0 I +a_1 A +...+ a_{n-1} A^{n-1}$ (*).
Пусть $f(q)$ является полиномом степени $k$ от матрицы $A$, тогда умножая обе стороны уравнения (*) на матрицу $B$, получаем
$f(A)B=a_0 B +a_1 A B+...+ a_{n-1} A^{n-1} B$ или $C_k b = C_n a$,
где $a$ есть $km \times 1$ и $b$ есть $nm \times 1$.
По определению области значения матрицы имеем : если $x \in R(C_k)$ то существует $z$, что $C_k z = x$.
Таким образом получаем, что если $x \in R(C_k)$, то $x=C_k z = C_n a$, поскольку выбор полинома $f(q)$ а значит и его коэффициентов $z$ является произвольным.
Правильно ли использована здесь теорема.

[Brukvalub]

Alexey1 в сообщении #155229 писал(а):

Правильно ли использована здесь теорема.

Так она даже и сформулирована неверно...См.http://www.fipm.ru/structure9.shtml

[Alexey1]

Brukvalub Вы имели ввиду то что надо было написать, что матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению? Так написано например здесь http://www.gsu.unibel.by/gcsw2001/upload/40.doc

[Brukvalub]

Alexey1 в сообщении #155242 писал(а):

Brukvalub Вы имели ввиду то что надо было написать, что матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению?

Да. А вот этот Ваш перл - просто шедевр:

Alexey1 в сообщении #155229 писал(а):

Для доказательства используем теорему Кейли-Гамильтона, согласно которой любая матрица соответствует своему характеристическому уравнению. Следствием данной теоремы является, то, что если $f(q)$ любой полином, то существуют коэффициенты$a_i$ такие что $f(A)=a_0 I +a_1 A +...+ a_{n-1} A^{n-1}$ (*).

[Alexey1]

А если по существу?

[Brukvalub]

Alexey1 в сообщении #155244 писал(а):

А если по существу?

Так я и пишу по-существу. Как может определение следовать из теоремы, которая к тому же и сформулирована неверно и бессмысленно?

[Alexey1]

Какое определение? Теорему я переформулировал, так? Что из того, что Вы написали может помочь разобраться в решении задачи? Вы кроме критики можете написать, что не верно?

[Brukvalub]

Alexey1 в сообщении #155247 писал(а):

Вы кроме критики можете написать, что не верно?

В моей критике как раз и указано, что неверно, и даже просто абсурдно.
А саму постановку задачи я вообще понять не могу, начиная со слов заголовка. Мне незнакомо понятие "область значения матрицы". Прошу Вас дать ему определение.

[Alexey1]

И для того, чтобы задать этот вопрос Вам потребовалось столько написать сообщений. Если матрица $C_k$ действует из пространства $V$ в пространство $W$, то область значений этой матрицы $R(C_k) = { w \in W : w=C_k v, v \in V } $.

[Brukvalub]

Alexey1 в сообщении #155250 писал(а):

И для того, чтобы задать этот вопрос Вам потребовалось столько написать сообщений.

Прежде, чем ехидничать, полезно набраться хоть какого-нибудь ума.

Alexey1 в сообщении #155250 писал(а):

Если матрица $A$ действует из пространства $V$ в пространство $W$, то область значений этой матрицы $R(C_k) = { w \in W : w=C_k v, v \in V } $.

Матрицы никуда не действуют. Действуют линейные операторы.
Дальнейшее общение с вами в таком тоне считаю нецелесообразным. Сначала научитесь уважать того, кто вам бескорыстно помогает.

[Alexey1]

Вот к чему Вы сейчас это написали. Вы читали сообщение, сделали акцент на формулировке теоремы, прежде чем перейти к которой Вы прочитали "область значений матрицы". Как можно спрашивать о формулировке теоремы не поняв для решения какой задачи она используется? Потом поговорив о теореме Вы начинаете спрашивать что вообще надо решать.

[Brukvalub]

Еще раз повторяю: Я - давным-давно взрослый и опытный в преподавании дядя, который выучил линейной алгебре никак не меньше 500 студентов, поэтому не нужно учить меня, как мне думать и поступать. Я сам в этом силен.
Прочитав ваш заголовок, я ничего в нем не понял и решил, что смогу понять постановку задачи из текста. Но и текст вы написали просто уникально бессмысленным, поэтому я для начала указал вам на явные глупости, надеясь, что они случайны.
После этого вы, вместо пояснений и исправлений решили поучить меня, как правильно учить студентов. Мне такая ваша помощь не нужна.