Проверьте пожалуйста правильно ли решена следующая задача.
Дано
![$C_k = [B, AB , ..., A^{k-1}B], A \in R^{n \times n}, B \in R^{n \times m}$ $C_k = [B, AB , ..., A^{k-1}B], A \in R^{n \times n}, B \in R^{n \times m}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/c/5cc1039bfee3e535a5109b27c79bc3d582.png)
. Необходимо показать, что

для

, то есть области значений матриц

и

равны.
Для доказательства используем теорему Кейли-Гамильтона, согласно которой любая матрица соответствует своему характеристическому уравнению. Следствием данной теоремы является, то, что если

любой полином, то существуют коэффициенты

такие что

(*).
Пусть

является полиномом степени

от матрицы

, тогда умножая обе стороны уравнения (*) на матрицу

, получаем

или

,
где

есть

и

есть

.
По определению области значения матрицы имеем : если

то существует

, что

.
Таким образом получаем, что если

, то

, поскольку выбор полинома

а значит и его коэффициентов

является произвольным.
Правильно ли использована здесь теорема.